第二轮--数列综合与高考模拟.doc

数列综合复习 1、等差数列与等比数列 等差数列等比数列定义(为常数,)通项公式（）中 项前项和重要性质 ② ③从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列。 如：（下标成等差数列） ④每隔k项和成等差 ② ③从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列。 如：（下标成等差数列） ④每隔k项和成等比证明定义法　定义法　2、数列求和及通项的类型与方法： 3、数学归纳法及应用： 4、数列极限及应用： 5、例题讲解： 例1、设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和．已知，且构成等差数列． （1）求数列的通项公式． （2）令求数列的前项和． 例2、在数列中，，，． （Ⅰ）证明数列是等比数列； （Ⅱ）求数列的前项和； （Ⅲ）证明不等式，对任意皆成立． 例3、已知,若成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)设是不等式整数解的个数，求； 例4、设正数数列的前项和为，且对任意的，是和的等差中项． （1）求数列的通项公式； （2）在集合，，且中，是否存在正整数，使得不等式对一切满足的正整数都成立？若存在，则这样的正整数共有多少个？并求出满足条件的最小正整数的值；若不存在，请说明理由； （3）请构造一个与数列有关的数列，使得存在，并求出这个极限值． 例5、（上海市长宁区2010年高三第二次模拟文科）（本题满分16分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（2）小题6分） 设数列中，若，则称数列为“凸数列”。 （1）设数列为“凸数列”，若，试写出该数列的前6项，并求出该6项之和； （2）在“凸数列”中，求证：； （3）设，若数列为“凸数列”，求数列前2010项和。 21、解：（1），，， 。 …………………………………………………………4分 （2）由条件得，……………………………………………7分 。 …………………………………………………………10分 （3）由（2）的结论，，即。………………12分 。 。 …………………………………………………………14分 由（2）得。 。 …………………………………………………………16分 例6 观察数列： ①；②正整数依次被4除所得余数构成的数列； ③ (1)对以上这些数列所共有的周期特征，请你类比周期函数的定义，为这类数列下一个周期数列的定义：对于数列，如果________________________，对于一切正整数都满足___________________________成立，则称数列是以为周期的周期数列； (2)若数列满足为的前项和，且，证明为周期数列，并求； (3)若数列的首项，且，判断数列是否为周期数列，并证明你的结论. 答案：解：(1) 存在正整数； (2)证明：由 所以数列是以为周期的周期数列 由 于是 又， 所以， 例7、（上海市徐汇区2010年4月高三第二次模拟文科）（本题满分18分；第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题8分） 设数列是等差数列，且公差为，若数列中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”. （1）若，求证：该数列是“封闭数列”； （2）试判断数列是否是“封闭数列”，为什么？ （3）设是数列的前项和，若公差，试问：是否存在这样的“封闭数列”，使；若存在，求的通项公式，若不存在，说明理由. 23． （1）证明：，-------------------------------------------------1分 对任意的，有 ，---------------------------------------------3分 于是，令，则有-------------------------5分 （2），---------------------------------------------------------7分 令，-----------------------------------------9分 所以数列不是封闭数列；---------------------------------------------------10分 （3）解：由是“封闭数列”，得：对任意，必存在使 成立，----------------------------------------------------11分 于是有为整数，又是正整数。-------------------------------13分 若则，所以，-----------------------14分 若，则，所以，--