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第二轮--数列综合与高考模拟第二轮--数列综合与高考模拟
数列综合复习
1、等差数列与等比数列
等差数列等比数列定义(为常数,)通项公式()中 项前项和重要性质 ②
③从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列。
如:(下标成等差数列)
④每隔k项和成等差
②
③从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列。
如:(下标成等差数列)
④每隔k项和成等比证明定义法 定义法 2、数列求和及通项的类型与方法:
3、数学归纳法及应用:
4、数列极限及应用:
5、例题讲解:
例1、设是公比大于1的等比数列,为数列的前项和.已知,且构成等差数列.
(1)求数列的通项公式.
(2)令求数列的前项和.
例2、在数列中,,,.
(Ⅰ)证明数列是等比数列;
(Ⅱ)求数列的前项和;
(Ⅲ)证明不等式,对任意皆成立.
例3、已知,若成等差数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)设是不等式整数解的个数,求;
例4、设正数数列的前项和为,且对任意的,是和的等差中项.
(1)求数列的通项公式;
(2)在集合,,且中,是否存在正整数,使得不等式对一切满足的正整数都成立?若存在,则这样的正整数共有多少个?并求出满足条件的最小正整数的值;若不存在,请说明理由;
(3)请构造一个与数列有关的数列,使得存在,并求出这个极限值.
例5、(上海市长宁区2010年高三第二次模拟文科)(本题满分16分,第(1)小题4分,第(2)小题6分,第(2)小题6分)
设数列中,若,则称数列为“凸数列”。
(1)设数列为“凸数列”,若,试写出该数列的前6项,并求出该6项之和;
(2)在“凸数列”中,求证:;
(3)设,若数列为“凸数列”,求数列前2010项和。
21、解:(1),,,
。 …………………………………………………………4分
(2)由条件得,……………………………………………7分
。 …………………………………………………………10分
(3)由(2)的结论,,即。………………12分
。
。 …………………………………………………………14分
由(2)得。
。 …………………………………………………………16分
例6
观察数列:
①;②正整数依次被4除所得余数构成的数列;
③
(1)对以上这些数列所共有的周期特征,请你类比周期函数的定义,为这类数列下一个周期数列的定义:对于数列,如果________________________,对于一切正整数都满足___________________________成立,则称数列是以为周期的周期数列;
(2)若数列满足为的前项和,且,证明为周期数列,并求;
(3)若数列的首项,且,判断数列是否为周期数列,并证明你的结论.
答案:解:(1) 存在正整数;
(2)证明:由
所以数列是以为周期的周期数列
由
于是
又,
所以,
例7、(上海市徐汇区2010年4月高三第二次模拟文科)(本题满分18分;第(1)小题5分,第(2)小题5分,第(3)小题8分)
设数列是等差数列,且公差为,若数列中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项,则称该数列是“封闭数列”.
(1)若,求证:该数列是“封闭数列”;
(2)试判断数列是否是“封闭数列”,为什么?
(3)设是数列的前项和,若公差,试问:是否存在这样的“封闭数列”,使;若存在,求的通项公式,若不存在,说明理由.
23. (1)证明:,-------------------------------------------------1分
对任意的,有
,---------------------------------------------3分
于是,令,则有-------------------------5分
(2),---------------------------------------------------------7分
令,-----------------------------------------9分
所以数列不是封闭数列;---------------------------------------------------10分
(3)解:由是“封闭数列”,得:对任意,必存在使
成立,----------------------------------------------------11分
于是有为整数,又是正整数。-------------------------------13分
若则,所以,-----------------------14分
若,则,所以,--
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