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第十讲:线积分第十讲:线积分
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第十讲 线积分课
一、例题选讲:
例一、有人在计算,其中l为A(0,a),B之间一段劣弧。
解::: A
,故有 O C
=, B
错误。在上,第一类线积分必须上限大于下限。
原式==
若将上题改为呢?
例二、其中L为沿从原点到A(1,1)的一段弧。
下列解法是否正确?
=
答:错误,最后一步,与n有关。
正确解法:=
例三、设为椭圆方向均为正向,为下列解法
是否正确?
==
答:错误。积分第一步错误!,当时
,所以与路径有关!正确解法:原式=
例四、,C由曲线,
所围边界沿逆时针。
解:
原式=。(格林公式)
例五、,其中L是沿摆线
从 O(0,0)到A(一段弧。
解:,与路径无关。
原式=
综合提高题曲线积分
概念:
曲线积分=
=
两类关系:=
为曲线正向切线的方向余弦。
Green公式:D单连通,C为D的边界正向,P,Q有一阶连续的偏导,
则:
平面上对坐标曲线积分与路径无关的几个等价条件,设,
P,Q在单连区域D内有连续的一阶偏导,则下面等价:
对D内任一条逐段光滑闭合曲线L都有;
在D内与路径无关;
;
D内处处有
计算题
1、有人在计算,其中l为A(0,a),B之间一段劣弧。
解::: A
,故有 O C
=, B
错误。在上,第一类线积分必须上限大于下限。
原式==
若将上题改为呢?
2、设具有二阶连续偏导,为光滑闭合曲线L的外法线向量,D为L
所围区域,则。
解:有人有如下解法:设M为L上任意一点
切向量为,外法向量,它们与x夹角
分别为,
= O
=,问题出在哪儿?
(的理解上,)
3、设为椭圆为圆周,下列解法是否有误?
解:===2。
错误!第一步:,,不相等,
不能用路径无关。
用参数方程=。
4、
从z轴的正向看去为逆时针方向。
解法一:直接用定积分,
原式=
=
解法二:,
原式=
=。( L为在xoy上投影)
解法三(斯土克斯公式)
5、计算:1) 2),为,
用什么方法较为???便?
解:1)直接化为定积分
明显用参数方程易想到,但麻烦。
2)对称性,x,y,z有轮换对称
,
所以=
法一比较繁,但它是基本方法,法二要求比较高,既要考虑被积函数,又要考虑积分区域。
6、格林公式也可将二重积分化为曲线积分计算,尤其积分域为参数方程给出
求星型线在第一象限弧与x,y轴围成图形的形心。
解:明显
7、,其中C是曲线
从z轴正向向负向看C是逆时针。
解:,
=。
(也可用斯土克斯公式,或向xoy投影)
8、求,其中为正常数,
L为从沿曲线到点(0,0)的弧段。
解:添加由(0,0)沿y=0到A的直线,
。
9、,其中L是以(1,0)为圆心,半径R1的圆周逆时针。
解:,
取曲线C:取逆时针,
=。
10、确定,使右半平面x0上向量
为某个二元函数的梯度,并求。
解:,,
,得:,
=。
11、在变力的作用下,一质点由原点沿直线到椭球面
上第一卦限点M,问何值时,作功最大?
解:设直线方程为,W=
=
令
解得:,,
历年考研选题(曲线积分与曲面积分)
一、填空题
⑴ 设,则 . (2001年)
⑵ 设为椭圆,其周长记为,则
. (1998年)
?
二、选择题
⑴ 已知为某函数的全微分,则等于 ( )
(A) . (B) 0. (C) 1. (D) 2. (1996年)
⑵ 设曲线积分与路径无关,其中具有一阶连续导数,且,则等于 ( )
(A) . (B) .
(C) . (D) . (1993年)
⑶ 设,为在第一卦限中的部分,则有 ( )
(A). (B).
(C). (D). (2000年)
?三、解答题
⑴ 计算曲面积分 ,其中是曲面的上侧. (2004年)
⑵ 已知平面区域,L为D的正向边界. 试证:
① ;
② (2003年)
⑶ 设函数在内具有一阶连续导数,是上半
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