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PAGE  PAGE 334 第十讲 线积分课 一、例题选讲： 例一、有人在计算，其中l为A(0,a),B之间一段劣弧。 解：：： A ，故有 O C =， B 错误。在上，第一类线积分必须上限大于下限。 原式== 若将上题改为呢？ 例二、其中L为沿从原点到A（1，1）的一段弧。 下列解法是否正确？ = 答：错误，最后一步，与n有关。 正确解法：= 例三、设为椭圆方向均为正向，为下列解法 是否正确？ == 答：错误。积分第一步错误！，当时 ，所以与路径有关！正确解法：原式= 例四、，C由曲线， 所围边界沿逆时针。 解： 原式=。（格林公式） 例五、，其中L是沿摆线 从 O(0,0)到A(一段弧。 解：，与路径无关。 原式= 综合提高题曲线积分 概念： 曲线积分= = 两类关系：= 为曲线正向切线的方向余弦。 Green公式：D单连通，C为D的边界正向，P，Q有一阶连续的偏导， 则： 平面上对坐标曲线积分与路径无关的几个等价条件，设， P，Q在单连区域D内有连续的一阶偏导，则下面等价： 对D内任一条逐段光滑闭合曲线L都有； 在D内与路径无关； ； D内处处有 计算题 1、有人在计算，其中l为A(0,a),B之间一段劣弧。 解：：： A ，故有 O C =， B 错误。在上，第一类线积分必须上限大于下限。 原式== 若将上题改为呢？ 2、设具有二阶连续偏导，为光滑闭合曲线L的外法线向量，D为L 所围区域，则。 解：有人有如下解法：设M为L上任意一点 切向量为，外法向量，它们与x夹角 分别为， = O =，问题出在哪儿？ （的理解上，） 3、设为椭圆为圆周，下列解法是否有误？ 解：===2。 错误！第一步：，，不相等， 不能用路径无关。 用参数方程=。 4、 从z轴的正向看去为逆时针方向。 解法一：直接用定积分， 原式= = 解法二：， 原式= =。（ L为在xoy上投影） 解法三（斯土克斯公式） 5、计算：1） 2），为， 用什么方法较为???便？ 解：1）直接化为定积分 明显用参数方程易想到，但麻烦。 2）对称性，x，y，z有轮换对称 ， 所以= 法一比较繁，但它是基本方法，法二要求比较高，既要考虑被积函数，又要考虑积分区域。 6、格林公式也可将二重积分化为曲线积分计算，尤其积分域为参数方程给出 求星型线在第一象限弧与x，y轴围成图形的形心。 解：明显 7、，其中C是曲线 从z轴正向向负向看C是逆时针。 解：， =。 （也可用斯土克斯公式，或向xoy投影） 8、求，其中为正常数， L为从沿曲线到点（0，0）的弧段。 解：添加由（0，0）沿y=0到A的直线， 。 9、，其中L是以（1，0）为圆心，半径R1的圆周逆时针。 解：， 取曲线C：取逆时针， =。 10、确定，使右半平面x0上向量 为某个二元函数的梯度，并求。 解：，， ，得：， =。 11、在变力的作用下，一质点由原点沿直线到椭球面 上第一卦限点M，问何值时，作功最大？ 解：设直线方程为，W= = 令 解得：，， 历年考研选题（曲线积分与曲面积分） 一、填空题 ⑴ 设，则 . (2001年) ⑵ 设为椭圆,其周长记为,则 . (1998年) ? 二、选择题 ⑴ 已知为某函数的全微分,则等于 ( ) (A) . (B) 0. (C) 1. (D) 2. (1996年) ⑵ 设曲线积分与路径无关,其中具有一阶连续导数,且,则等于 ( ) (A) . (B) . (C) . (D) . (1993年) ⑶ 设，为在第一卦限中的部分，则有 ( ) （A）. （B）. （C）. （D）. (2000年) ?三、解答题 ⑴ 计算曲面积分 ，其中是曲面的上侧. (2004年) ⑵ 已知平面区域，L为D的正向边界. 试证： ① ; ② （2003年） ⑶ 设函数在内具有一阶连续导数，是上半