MATLAB 平方根法和改进平方根法求解线性方程组例题与程序.doc

（2）设对称正定阵系数阵线方程组 数学原理 平方根法 解n阶线性方程组Ax=b的choleskly方法也叫做平方根法，这里对系数矩阵A是有要求的，需要A是对称正定矩阵，根据数值分析的相关理论，如果A对称正定，那么系数矩阵就可以被分解为的形式，其中L是下三角矩阵，将其代入Ax=b中，可得： 进行如下分解： 那么就可先计算y,再计算x，由于L是下三角矩阵，是上三角矩阵，这样的计算比直接使用A计算简便，同时你应该也发现了工作量就转移到了矩阵的分解上面， 那么对于对称正定矩阵A进行Cholesky分解，我再描述一下过程吧： 如果你对原理很清楚那么这一段可以直接跳过的。 设，即 其中 第1步，由矩阵乘法，故求得 一般的，设矩阵L的前k-1列元素已经求出 第k步，由矩阵乘法得 于是 改进平方根法 在平方根的基础上，为了避免开方运算,所以用计算；其中，； 得 按行计算???元素及对元素公式 对于 . . 计算出的第行元素后，存放在的第行相置，然后再计算的第行元素，存放在的第行.的对角元素存放在的相应位置. 对称正定矩阵按分解和按分解计算量差不多，但分解不需要开放计算。求解, 的计算公式分别如下公式。 程序设计 1、平方根法 function [x]=pfpf(A,b) %楚列斯基分解 求解正定矩阵的线性代数方程 A=LL’ 先求LY=b 再用L’X=Y 即可以求出解X [n,n]=size(A); L(1,1)=sqrt(A(1,1)); for k=2:n L(k,1)=A(k,1)/L(1,1); end for k=2:n-1 L(k,k)=sqrt(A(k,k)-sum(L(k,1:k-1).^2)); for i=k+1:n L(i,k)=(A(i,k)-sum(L(i,1:k-1).*L(k,1:k-1)))/L(k,k); end end L(n,n)=sqrt(A(n,n)-sum(L(n,1:n-1).^2)); %解下三角方程组Ly=b 相应的递推公式如下，求出y矩阵 y=zeros(n,1);%先生成方程组的因变量的位置，给定y的初始值 for k=1:n j=1:k-1; y(k)=(b(k)-L(k,j)*y(j))/L(k,k); end %解上三角方程组 L’X=Y 递推公式如下，可求出X矩阵 x=zeros(n,1); U=L;%求上对角矩阵 for k=n:-1:1 j=k+1:n; x(k)=(y(k)-U(k,j)*x(j))/U(k,k); end A=[4,2,-4,0,2,4,0,0 2,2,-1,-2,1,3,2,0 -4,-1,14,1,-8,-3,5,6 0,-2,1,6,-1,-4,-3,3 2,1,-8,-1,22,4,-10,-3 4,3,-3,-4,4,11,1,-4 0,2,5,-3,-10,1,14,2 0,0,6,3,-3,-4,2,19]; b=[0;-6;20;23;9;-22;-15;45]; x=pfpf(A,b) x = 121.1481 -140.1127 29.7515 -60.1528 10.9120 -26.7963 5.4259 -2.0185 2、改进平方根法 function [x]=improvecholesky(A,b,n) %用改进平方根法求解Ax=b L=zeros(n,n); %L为n*n矩阵 D=diag(n,0); %D为n*n的主对角矩阵 S=L*D; for i=1:n %L的主对角元素均为1 L(i,i)=1; end for i=1:n for j=1:n %验证A是否为对称正定矩阵 if (eig(A)=0)|(A(i,j)~=A(j,i)) %A的特征值小于0或A非对称时，输出wrong disp(wrong);break;end end end D(1,1)=A(1,1);