东南大学数理方程第三版第一二章习题全解.pdfVIP

16 数学 物理方 程与 特殊函 数导 教· 导 学· 导考 第一章?课后习题全解 1 .4 习题全解 1. 长为 l 的均匀杆 , 侧面绝缘 , 一端 温度 为零 , 另 一端有 恒定 热 流 q进入 (即单位时间内通过单位截面积流入的热量为 q) , 杆的初始 x( l - x) 温度分布是 , 试写出相应的定解问题。 2 解 见图 1 8, 该问题是一维热传导 方程 , 初始 条件题 中已 给 出 , 为 x( l - x) u( x ,0 ) = (0 ≤ x ≤ l) 2 第一章 一 些典型 方程和 定解 条件的 推导 17 现考虑边值条件 , 设在 x = 0 这 个端点处温度为 0, 则有 u( 0, t) = 0 ( t 0 ) 另一端( x = l) 处再恒定的热流 图 1 8 q 进入 杆 内 , 由 傅里 叶 实 验 定律 , 在 边界曲面∑ 上有 ?u - k | = qn ?n ∑ 其中 qn 为沿边界外法向的热流强度 , 在 x = l 端 , 边界外法向就 是 x 轴的正向 , 而现在热量是流入杆内 , 表明热流方向与 x 轴正向相 反 , 故有 ?u - k = - q ?x ?u q 即 = ?x x = l k 综上所述 , 相应的定解问题为 2 ut - a uxx = 0 ( 0 x l, t 0 ) q u( 0, t) = 0, ux ( l, t) = k x( l - x) u( x, 0 ) = 2 2. 长为 l 的弦两端固定 , 开始时在 x = c 受到冲量 k 的作用 , 试 写出相应的定解问题。 解 该问题 为一维弦 振动问题 , 边界条 件是显 然的。由 于弦 两 端固定 , 所以在这两点处位移为零 , 即 u( 0, t) = u( l, t) = 0 现考虑初始条件 , 当冲量 k 作用于 x = c 处时 , 就相当于在这点 给出了一个初速度 , 我们考虑以 c点为中心 , 长为 2δ的一小段弦( c - δ, c + δ) , 设弦是均匀的 , 其线密度为 ρ, 则这 一小段 弦的质量 为 2δρ, 受冲击时速度为 ut ( x, 0) , 由动量定理得 18 数学 物理方 程与 特殊函 数导 教· 导 学· 导考 2δρut ( x ,0 ) = k ( c - δ≤ x