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四边形证明习题
1.如图,在菱形ABCD中,∠A=60°,=4,O为对角线BD的中点,过O点作OE⊥AB,垂足为E.
(1) 求∠ABD 的度数;
(2)求线段的长.
2.如图,菱形的对角线与相交于点,点、分别为边、的中点,连接、、.求证:四边形是菱形.
A
F
D
B
E
O
C
3. 在正方形ABCD中,AC为对角线,E为AC上一点,连接EB、ED.
(1)求证:△BEC≌△DEC;
A
F
D
E
B
C
(2)延长BE交AD于F,当∠BED=120°时,求∠EFD的度数.
4. 已知:如图,在正方形ABCD中,点E、F分别在BC和CD上,AE = AF.
(1)求证:BE = DF;
A
D
B
E
F
O
C
M
(2)连接AC交EF于点O,延长OC至点M,使OM = OA,连接EM、FM.判断四边形AEMF是什么特殊四边形?并证明你的结论.
5.如图,四边形ABCD是边长为a的正方形,点G,E分别是边AB,BC的中点,∠AEF=90o,且EF交正方形外角的平分线CF于点F.
(1)证明:∠BAE=∠FEC;
(2)证明:△AGE≌△ECF;
(3)求△AEF的面积.
6. 已知梯形中,, (如图所示).的平分线交于点,联结.
A
B
C
D
(1) 在图中,用尺规作的平分线(保留作
图痕迹,不写作法),并证明四边形是菱形;
(2) 若,,求证:.
7. 如图,正方形中,分别是边上的点,且求证
D
C
F
B
E
A
8. 如图,将矩形纸片沿折叠,使点与点重合,点落在点处,为折痕.
(1)求证:;
(2)若,求四边形(阴影部分)的面积.
9. 如图,在△ABC中,D是BC边的中点,E、F分别在AD及其延长线上,CE∥BF,连接BE、CF.
(1)求证:△≌△CDE;
(2)若AB=AC,求证:四边形BFCE是菱形.
10.如图,在矩形ABCD(AB<AD)中,将△ABE沿AE对折,使AB边落在对角线AC上,点B的对应点为F,同时将△CEG沿EG对折,使CE边落在EF所在直线上,点C的对应点为H.
(1)证明:AF∥HG(图(1));
(2)证明:△AEF∽△EGH(图(1));
(3)如果点C的对应点H恰好落在边AD上(图(2)).求此时∠BAC的大小.
11. 如图,梯形ABCD中,AB∥CD,AC平分∠BAD,CE∥AD交AB于点E.求证:四边形AECD是菱形.
12. 如图,在□ABCD中,EF∥BD,分别交BC、CD于点P、Q,分别交AB、AD的延长线于点E、F.已知BE=BP.
求证:(1)∠E=∠F.
(2)□ABCD是菱形.
13. 如图,O为矩形ABCD对角线的交点,DE∥AC,CE∥BD.
(1)试判断四边形OCED的形状,并说明理由;
(2)若AB=6,BC=8,求四边形OCED的面积.
14.如图1,已知矩形ABED,点C是边DE的中点,且AB=2AD.
(1)判断△ABC的形状,并说明理由;
(2)保持图1中的△ABC固定不变,绕点C旋转DE所在的直线MN到图2中的位置(当垂线AD、BE在直线MN的同侧).试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系?并给予证明;
(3)保持图2中的△ABC固定不变,继续绕点C旋转DE所在的直线MN到图3中的位置(当垂线段AD、BE在直线MN的异侧).试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系?并给予证明.
A
Q
C
D
B
P
15. 如图,是等腰直角三角形,,点P、Q分别是AB、AC上的动点,且满足,D是的中点.
(1)求证:是等腰直角三角形;
(2)当点P运动到什么位置时,四边形APDQ是正方形,并说明理由.
16. 在△ABC中,∠BAC=45°,AD⊥BC于D,将△ABD沿AB所在的直线折叠,使点D落在点E处;将△ACD沿AC所在的直线折叠,使点D落在点F处,分别延长EB、FC使其交于点M.
(1)判断四边形AEMF的形状,并给予证明.
(2)若BD=1,CD=2,试求四边形AEMF的面积.
图1
17. (1) 如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,
CD上,AE,BF交于点O,∠AOF=90°.
求证:BE=CF.
(2) 如图2,在正方形ABCD中,点E,H,F,G分别在边AB,
BC,CD,DA上,EF,GH交于点O,∠FOH=90°, EF
图2
=4.求GH的长.
19.已知:如图,在中,AE是BC边上的高,将沿方向平移,使点E与点C重合,得.
(1)求证:;
A
D
G
C
B
F
E
(2)若,当AB与BC满足什么数量关系时,四边形是菱形?证明你的结论.
20.将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠,使点C与A重合,点D落到D′ 处,折痕为EF.
(1)求证:△ABE≌△AD′F
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