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高2012级13班数学二轮复习专题讲座4高2012级13班数学二轮复习专题讲座4
高2012级13班数学二轮复习专题讲座曲线的轨迹方程的求法
(1)求曲线(图形)方程的方法及其具体步骤如下:
步 骤含 义说 明1、“建”:建立坐标系;“设”:设动点坐标。建立适当的直角坐标系,用(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标。所研究的问题已给出坐标系,即可直接设点。
没有给出坐标系,首先要选取适当的坐标系。2、现(限):由限制条件,列出几何等式。写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)}这是求曲线方程的重要一步,应仔细分析题意,使写出的条件简明正确。3、“代”:代换用坐标法表示条件P(M),列出方程f(x,y)=0常常用到一些公式。4、“化”:化简化方程f(x,y)=0为最简形式。要注意同解变形。5、证明证明化简以后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。化简的过程若是方程的同解变形,可以不要证明,变形过程中产生不增根或失根,应在所得方程中删去或补上(即要注意方程变量的取值范围)。
这五个步骤可浓缩为五字“口诀”:建设现(限)代化”
重难点归纳
求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法
(1)直接法 直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系,直接坐标化,列出等式化简即得动点轨迹方程
(2)定义法 若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等),可用定义直接探求
(3)相关点法 根据相关点所满足的方程,通过转换而求动点的轨迹方程
(4)参数法 若动点的坐标(x,y)中的x,y分别随另一变量的变化而变化,我们可以以这个变量为参数,建立轨迹的参数方程
求轨迹方程, 要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念
【范例1】(1)一动圆与圆外切,同时与圆内切,求动圆圆心的轨迹方程,并说明它是什么样的曲线。
(2)双曲线有动点,是曲线的两个焦点,求的重心的轨迹方程。
命题意图 考查“定义法”求曲线的轨迹方程,及将实际问题转化为数学问题的能力
解析:(1)(法一)设动圆圆心为,半径为,设已知圆的 圆心分别为、,
将圆方程分别配方???:,,
当与相切时,有 ①
当与相切时,有 ②
将①②两式的两边分别相加,得,
即 ③
移项再两边分别平方得:
④
两边再平方得:,
整理得,
所以,动圆圆心的轨迹方程是,轨迹是椭圆。
(法二)由解法一可得方程,
由以上方程知,动圆圆心到点和的距离和是常数,所以点的轨迹是焦点为、,长轴长等于的椭圆,并且椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上,
∴,,∴,,
∴,
∴圆心轨迹方程为。
【范例2】如图所示,已知P(4,0)是圆x2+y2=36内的一点,A、B是圆上两动点,且满足∠APB=90°,求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程
命题意图 本题主要考查利用“相关点代入法”求曲线的轨迹方程
技巧与方法 对某些较复杂的探求轨迹方程的问题,可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程,再以此点作为主动点,所求的轨迹上的点为相关点,求得轨迹方程
解 设AB的中点为R,坐标为(x,y),则在Rt△ABP中,|AR|=|PR|
又因为R是弦AB的中点,依垂径定理 在Rt△OAR中,|AR|2=|AO|2-|OR|2=36-(x2+y2)
又|AR|=|PR|=
所以有(x-4)2+y2=36-(x2+y2),即x2+y2-4x-10=0
因此点R在一个圆上,而当R在此圆上运动时,Q点即在所求的轨迹上运动
设Q(x,y),R(x1,y1),因为R是PQ的中点,所以x1=,
代入方程x2+y2-4x-10=0,得
-10=0
整理得 x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程
【范例3】设点A和B为抛物线 y2=4px(p>0)上原点以外的两个动点,已知OA⊥OB,OM⊥AB,求点M的轨迹方程,并说明它表示什么曲线
命题意图 本题主要考查“参数法”求曲线的轨迹方程
技巧与方法 将动点的坐标x、y用其他相关的量表示出来,然后再消掉这些量,从而就建立了关于x、y的关系
解法一 设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y) (x≠0)
直线AB的方程为x=my+a
由OM⊥AB,得m=-
由y2=4px及x=my+a,消去x,得y2-4pmy-4pa=0
所以y1y2=-4pa, x1x2=
所以,由OA⊥OB,得x1x2 =-y1y2
所以
故x=my+4p,用m=-代入,得x2+y2-4px=0(x≠0)
故动点M的轨迹方程为x2+y2-4px=0(x≠0),它表示以(2p,0)为圆心,以2p为半径的圆,去掉坐标原点
解法二 设OA的方程
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