高2012级13班数学二轮复习专题讲座4.doc

高2012级13班数学二轮复习专题讲座曲线的轨迹方程的求法 （1）求曲线(图形)方程的方法及其具体步骤如下： 步 骤含 义说 明1、“建”：建立坐标系；“设”：设动点坐标。建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标。所研究的问题已给出坐标系，即可直接设点。 没有给出坐标系，首先要选取适当的坐标系。2、现(限)：由限制条件，列出几何等式。写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)}这是求曲线方程的重要一步，应仔细分析题意，使写出的条件简明正确。3、“代”：代换用坐标法表示条件P(M)，列出方程f(x,y)=0常常用到一些公式。4、“化”：化简化方程f(x,y)=0为最简形式。要注意同解变形。5、证明证明化简以后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。化简的过程若是方程的同解变形，可以不要证明，变形过程中产生不增根或失根，应在所得方程中删去或补上(即要注意方程变量的取值范围)。 这五个步骤可浓缩为五字“口诀”：建设现(限)代化” 重难点归纳 求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法 (1)直接法 直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程 (2)定义法 若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求 (3)相关点法 根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程 (4)参数法 若动点的坐标(x,y)中的x,y分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程 求轨迹方程， 要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念 【范例1】（1）一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。 （2）双曲线有动点，是曲线的两个焦点，求的重心的轨迹方程。 命题意图 考查“定义法”求曲线的轨迹方程，及将实际问题转化为数学问题的能力 解析：（1）（法一）设动圆圆心为，半径为，设已知圆的 圆心分别为、， 将圆方程分别配方???：，， 当与相切时，有 ① 当与相切时，有 ② 将①②两式的两边分别相加，得， 即 ③ 移项再两边分别平方得： ④ 两边再平方得：， 整理得， 所以，动圆圆心的轨迹方程是，轨迹是椭圆。 （法二）由解法一可得方程， 由以上方程知，动圆圆心到点和的距离和是常数，所以点的轨迹是焦点为、，长轴长等于的椭圆，并且椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上， ∴，，∴，， ∴， ∴圆心轨迹方程为。 【范例2】如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程 命题意图 本题主要考查利用“相关点代入法”求曲线的轨迹方程 技巧与方法 对某些较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程 解 设AB的中点为R，坐标为(x,y)，则在Rt△ABP中，|AR|=|PR| 又因为R是弦AB的中点，依垂径定理 在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－(x2+y2) 又|AR|=|PR|= 所以有(x－4)2+y2=36－(x2+y2),即x2+y2－4x－10=0 因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动 设Q(x,y)，R(x1,y1)，因为R是PQ的中点，所以x1=, 代入方程x2+y2－4x－10=0,得 －10=0 整理得 x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程 【范例3】设点A和B为抛物线 y2=4px(p＞0)上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线 命题意图 本题主要考查“参数法”求曲线的轨迹方程 技巧与方法 将动点的坐标x、y用其他相关的量表示出来，然后再消掉这些量，从而就建立了关于x、y的关系 解法一 设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y) (x≠0) 直线AB的方程为x=my+a 由OM⊥AB，得m=－ 由y2=4px及x=my+a，消去x,得y2－4pmy－4pa=0 所以y1y2=－4pa, x1x2= 所以，由OA⊥OB，得x1x2 =－y1y2 所以 故x=my+4p,用m=－代入，得x2+y2－4px=0(x≠0) 故动点M的轨迹方程为x2+y2－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点 解法二 设OA的方程