《数值分析与算法》第八讲-常微分方程初值问题.pptx

数 值 分 析 (8) Numerical Analysis Wenjian Yu 2 第八章 常微分方程初值问题   (主要是前3节) 常微分方程初值问题 Wenjian Yu 3 常微分方程基本概念 常微分方程   Wenjian Yu 4               常微分方程   Wenjian Yu 5   初值问题:     常微分方程 – 例子1 含电容元件的电路问题 通过节点分析法得到微分方程组 Wenjian Yu 6 问题的解反映了电容充/放电过程 C1 R2 R1 R3 C2 电流/电压关系 节点电流方程 t 常微分方程 – 例子2 双联摆的运动 两个摆锤(重物), 刚性杆的重量可忽略 不考虑摩擦力,运动不会停止, 且在初始角度较大时摆锤的轨迹呈现混沌现象 Wenjian Yu 7 求解微分方程初值问题, 得到摆锤的运动规律 Matlab演示swinger                 常微分方程   Wenjian Yu 8   线性齐次常系数微分方程   实际的问题基本上都是稳定的!   (由于历史原因) 常微分方程   Wenjian Yu 9             局部稳定 简单方法与有关概念 Wenjian Yu 10 简单的初值问题数值解法 初值问题的数值解法   Wenjian Yu 11       否则为多步法 否则为隐格式方法 欧拉法   Wenjian Yu 12 “左矩形”求积公式           h=0.1 h=0.05 0.1 1.000000 1.004837 0.05 1.000000 0.3 1.035092 0.2 1.010000 1.018731 0.1 1.002500 0.35 1.048337 0.3 1.029000 1.040818 0.15 1.007375 0.4 1.063420 0.4 1.056100 1.070320 0.2 1.014506 0.45 1.080249 0.5 1.090490 1.106531 0.25 1.023781 0.5 1.098737   步长h=0.1, 和0.05 步长小的更准   数值解法的稳定性   Wenjian Yu 13         -1 0   欧拉法解模型问题的稳定区域     数值解法的稳定性   Wenjian Yu 14 -1 0     欧拉法稳定       数值解法的稳定性   Wenjian Yu 15     0 0.025 0.05 0.075 0.1 0.125 0.15 1 -1.5 2.25 -3.375 5.0625 -7.59375 11.3906 1 0.082085 0.006738 0.000553 4.5410-5 3.7310-6 3.0610-7 这里设的h太大! 计算结果如下表: 数值解法的局部截断误差   Wenjian Yu 16 整体误差   稳定的问题，整体误差小于局部误差之和 不稳定的问题呢？ 一般仅能控制局部误差 整体误差？~ 局部误差 数值解法的局部截断误差   Wenjian Yu 17         欧拉法是一阶方法 我们讨论的所有方法都至少有1阶准确度 数值解法的收敛性：随着h0，误差0 向后欧拉法与梯形法 从数值积分的角度推导 向后欧拉法: 梯形法: 两者均为单步、隐格式方法, 每步计算要求解(非线性)方程 例8.6:用向后欧拉法求解 Wenjian Yu 18 右矩形           梯形       0 0.025 0.05 0.075 0.1 0.125 0.15 1 0.006663 0.001904 0.000544 1 0.082085 0.006738 0.000553 4.5410-5 3.7310-6 3.0610-7 向后欧拉法   Wenjian Yu 19     准确解               0 1 稳定区域     无条件稳定(unconditionally stable)! 向后欧拉法   Wenjian Yu 20           具有1阶准确度! 向后欧拉法与梯形法   Wenjian Yu 21   稳定的条件是:     思考 无条件稳定!   具有2阶准确度 简单方法与有关概念 Wenjian Yu 22 Runge-Kutta方法 在欧拉法基础上改进 再增加一次函数求值: 数值积分的中矩形或梯形公式 利用欧拉法算半个步长的结果, 估算中点处被积函数值 先用欧拉法估计区间终点处斜率, 再用它与起始点斜率的平均值算一整步 Runge-Kutta方法     中矩形