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高三数学专题——恒成立与存在性问题高三数学专题——恒成立与存在性问题
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高三复习专题——恒成立与存在性问题
知识点总结:
(1)恒成立问题
1. ?x∈D,均有f(x)A恒成立,则f(x)minA;
2. ?x∈D,均有f(x)﹤A恒成立,则 f(x)maxA.
3. ?x∈D,均有f(x) g(x)恒成立,则F(x)= f(x)- g(x) 0,∴ F(x)min 0
4. ?x∈D,均有f(x)﹤g(x)恒成立,则F(x)= f(x)- g(x) ﹤0,∴ F(x) max ﹤0
5. ?x1∈D, ?x2∈E,均有f(x1) g(x2)恒成立,则f(x)min g(x)max
6. ?x1∈D, ?x2∈E,均有f(x1) g(x2)恒成立,则f(x) max g(x) min
(2)存在性问题
1. ?x0∈D,使得f(x0)A成立,则f(x) max A;
2. ?x0∈D,使得f(x0)﹤A成立,则 f(x) min A
3. ?x0∈D,使得f(x0) g(x0)成立,设F(x)= f(x)- g(x),∴ F(x) max 0
4. ?x0∈D,使得f(x0) g(x0)成立,设F(x)= f(x)- g(x),∴ F(x) min 0
5. ?x1∈D, ?x2∈E, 使得f(x1) g(x2)成立,则f(x) max g(x) min
6. ?x1∈D, ?x2∈E,均使得f(x1) g(x2)成立,则f(x) min g(x) max
(3)相等问题
1. ?x1∈D, ?x2∈E,使得f(x1)=g(x2)成立,则{ f(x)} {g(x)}
(4)恒成立与存在性的综合性问题
1. ?x1∈D, ?x2∈E, 使得f(x1) g(x2)成立,则f(x)min g(x) min
2. ?x1∈D, ?x2∈E, 使得f(x1) g(x2)成立,则f(x) max g(x) max
(5)恰成立问题
1. 若不等式f(x)A在区间D上恰成立,则等价于不等式f(x)A的解集为D;
2.若不等式f(x)B在区间D上恰成立,则等价于不等式f(x)B的解集为D.
? 探究点一 ?x∈D,f(x)g(x)的研究
例1、已知函数,,其中,.
对任意,都有恒成立,求实数的取值范围;
【思路分析】等价转化为函数恒成立,通过分离变量,创设新函数求最值解决.
简解:(1)由成立,只需满足的最小值大于即可.对求导,,故在是增函数,,所以的取值范围是.
? 探究点二 ?x∈D,f(x)g(x)的研究
对于?x∈D,f(x)g(x)的研究,先设h(x)=f(x)-g(x),再等价为?x∈D,h(x)max0,其中若g(x)=c,则等价为?x∈D,f(x)maxc.
例 已知函数f(x)=x3-ax2+10.
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(2)在区间[1,2]内至少存在一个实数x,使得f(x)0成立,求实数a的取值范围.
【解答】 (1)当a=1时,f′(x)=3x2-2x,f(2)=14,
曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率k=f′(2)=8,
所以曲线y=f(x)在点(2,f(x))处的切线方程为
8x-y-2=0.
(2)解法一:f′(x)=3x2-2ax=3xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(2,3)a))(1≤x≤2),
当eq \f(2,3)a≤1,即a≤eq \f(3,2)时,f′(x)≥0,f(x)在[1,2]上为增函数,
故f(x)min=f(1)=11-a,所以11-a0,a11,这与a≤eq \f(3,2)矛盾.
当1eq \f(2,3)a2,即eq \f(3,2)a3时,
当1≤xeq \f(2,3)a,f′(x)0;当eq \f(2,3)ax≤2,f′(x)0,
所以x=eq \f(2,3)a时,f(x)取最小值,
因此有feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a))0,即eq \f(8,27)a3-eq \f(4,9)a3+10=-eq \f(4,27)a3+100,解得a3eq \r(3,\f(5,2)),这与eq \f(3,2)a3矛盾;
当eq \f(2,3)a≥2,即a≥3时,f′(x)≤0,f(x)在[1,2]上为减函数,所以f(x)min=f(2)=18-4a,所以18-4a0,解得aeq \f(9,2),这符合a≥3.
综上所述,a的取值范围为aeq \f(9,2).
解法二:由已知得:aeq \f(x3+10,x2)=x+
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