高三数学专题——恒成立与存在性问题.doc

PAGE6 / NUMPAGES6 高三复习专题——恒成立与存在性问题 知识点总结： (1)恒成立问题 1. ?x∈D,均有f(x)A恒成立，则f(x)minA； 2. ?x∈D,均有f(x)﹤A恒成立，则 f(x)maxA. 3. ?x∈D,均有f(x) g(x)恒成立，则F(x)= f(x)- g(x) 0，∴ F(x)min 0 4. ?x∈D,均有f(x)﹤g(x)恒成立，则F(x)= f(x)- g(x) ﹤0，∴ F(x) max ﹤0 5. ?x1∈D, ?x2∈E,均有f(x1) g(x2)恒成立，则f(x)min g(x)max 6. ?x1∈D, ?x2∈E,均有f(x1) g(x2)恒成立，则f(x) max g(x) min (2)存在性问题 1. ?x0∈D,使得f(x0)A成立，则f(x) max A； 2. ?x0∈D,使得f(x0)﹤A成立，则 f(x) min A 3. ?x0∈D,使得f(x0) g(x0)成立，设F(x)= f(x)- g(x)，∴ F(x) max 0 4. ?x0∈D,使得f(x0) g(x0)成立，设F(x)= f(x)- g(x)，∴ F(x) min 0 5. ?x1∈D, ?x2∈E, 使得f(x1) g(x2)成立，则f(x) max g(x) min 6. ?x1∈D, ?x2∈E,均使得f(x1) g(x2)成立，则f(x) min g(x) max (3)相等问题 1. ?x1∈D, ?x2∈E,使得f(x1)=g(x2)成立，则{ f(x)} {g(x)} (4)恒成立与存在性的综合性问题 1. ?x1∈D, ?x2∈E, 使得f(x1) g(x2)成立，则f(x)min g(x) min 2. ?x1∈D, ?x2∈E, 使得f(x1) g(x2)成立，则f(x) max g(x) max (5)恰成立问题 1. 若不等式f(x)A在区间D上恰成立，则等价于不等式f(x)A的解集为D； 2.若不等式f(x)B在区间D上恰成立，则等价于不等式f(x)B的解集为D. ?　探究点一 ?x∈D，f(x)g(x)的研究 例1、已知函数，，其中，． 对任意，都有恒成立，求实数的取值范围； 【思路分析】等价转化为函数恒成立，通过分离变量，创设新函数求最值解决． 简解：（1）由成立，只需满足的最小值大于即可．对求导，，故在是增函数，，所以的取值范围是． ?　探究点二 ?x∈D，f(x)g(x)的研究 对于?x∈D，f(x)g(x)的研究，先设h(x)＝f(x)－g(x)，再等价为?x∈D，h(x)max0，其中若g(x)＝c，则等价为?x∈D，f(x)maxc. 例 已知函数f(x)＝x3－ax2＋10. (1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； (2)在区间[1,2]内至少存在一个实数x，使得f(x)0成立，求实数a的取值范围． 【解答】 (1)当a＝1时，f′(x)＝3x2－2x，f(2)＝14， 曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率k＝f′(2)＝8， 所以曲线y＝f(x)在点(2，f(x))处的切线方程为 8x－y－2＝0. (2)解法一：f′(x)＝3x2－2ax＝3xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,3)a))(1≤x≤2)， 当eq \f(2,3)a≤1，即a≤eq \f(3,2)时，f′(x)≥0，f(x)在[1,2]上为增函数， 故f(x)min＝f(1)＝11－a，所以11－a0，a11，这与a≤eq \f(3,2)矛盾． 当1eq \f(2,3)a2，即eq \f(3,2)a3时， 当1≤xeq \f(2,3)a，f′(x)0；当eq \f(2,3)ax≤2，f′(x)0， 所以x＝eq \f(2,3)a时，f(x)取最小值， 因此有feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a))0，即eq \f(8,27)a3－eq \f(4,9)a3＋10＝－eq \f(4,27)a3＋100，解得a3eq \r(3,\f(5,2))，这与eq \f(3,2)a3矛盾； 当eq \f(2,3)a≥2，即a≥3时，f′(x)≤0，f(x)在[1,2]上为减函数，所以f(x)min＝f(2)＝18－4a，所以18－4a0，解得aeq \f(9,2)，这符合a≥3. 综上所述，a的取值范围为aeq \f(9,2). 解法二：由已知得：aeq \f(x3＋10,x2)＝x＋