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圆的标准方程与一般方程案圆的标准方程与一般方程教案
圆的标准方程
【自主预习】
1、在平面直角坐标系中,确定一个圆的要素有哪些?
2、①若一个圆的圆心是(0,0),半径是2,圆的方程是什么?
②若一个圆的圆心是(-2,1),半径是3,圆的方程是什么?
③若一个圆的圆心是(a,b),半径是r(y0),圆的方程是什么?
3、分析圆的标准方程有何特点?
4、写出下列圆的方程
⑴圆心在原点,半径为3
⑵圆心在点C(3,4),半径为
⑶经过点P(5,1),圆心在点C(8,-3)
⑷已知点A(-4,-5),B(6,-1),求以AB为直径的圆的方程。
特殊的:过直径两端点A(x1,y1)、B(x2,y2)的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0
5、根据圆的方程写出圆心和半径
⑴ ⑵
【典例探究】
(点与圆的位置关系)例题1 已知圆心在C(-3,-4),且经过原点,求该圆的标准方程,并判断点和圆的位置关系。
判定方法
几何法
代数法
(三角形外接圆??例题2、△ABC的三个顶点的坐标分别是A(-2,4),B(-1,3),C(2,6),求它的外接圆的方程。
变式:已知四点A(0,1)、B(2,1)、C(3,4)、D(-1,2),这四点是否在同一个圆上,为什么?
(圆的标准方程)例题3 已知一个圆C经过两个点A(2,-3),B(-2,-5),且圆心在直线上,求此圆的方程。
思考: 比较例题2和例题3,你能归纳求任意△ABC外接圆的方程的两种方法吗?
待定系数法
弦的垂直平分线过圆心这一性质
(圆的对称性)例四 已知一个圆C:(x+2)2+(y-6)2=1和一条直线l:3x-4y+5=0,求圆C关于直线l对称的圆的方程。
圆的一般方程
【自主学习】
1下列方程分别表示什么图形
(1)
(2)
(3)
(4)
只有满足条件 ,才是圆的方程!
2、圆的一般方程是什么?
圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点?
x、y二次项系数相同且不为0;没有关于xy的一次项
圆的一般方程表明了方程形式的特点
一般方程有三个待定系数D、E、F
由圆的一般方程如何确定点与圆的位置关系?
【典例探究】
(求圆的方程)例题1 △ABC的三个顶点的坐标分别是A(-1,5),B(-2,-2),C (5,5),求它的外接圆的方程,在平面直角坐标系中画出该圆的图形,并指出圆心和半径。
思考:用待定系数法求圆的方程的方法与步骤
选定方程形式
根据条件列出方程组
代入数值计算出待定系数
(确定圆的条件)例题3若方程ax+ay-4(a-1)x+4y=0表示圆,求实数a的取值范围,并求出其中半径最小的圆的方程。
(轨迹方程)例题4已知O为为坐标原点,P在圆C:上运动,,求线段的中点M的轨迹方程。
关于求轨迹问题注意的地方:1、一般步骤 建系、设点、
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