高中数学《数学归纳法》学案4 新人教A版选修2-2.doc

PAGE  PAGE 6 用心 爱心 专心 数学归纳法 一、知识回顾 数学归纳法是一种证明与正整数n有关的数学命题的重要方法. 1.用数学归纳法证明命题的步骤为: ①验证当n取第一个值时命题成立,这是推理的基础; ②假设当n=k时命题成立.在此假设下,证明当时命题也成立是推理的依据.  eq \o\ac(○,3)结论. 2.探索性问题在数学归纳法中的应用（思维方式）: 观察,归纳,猜想,推理论证. 3.特别注意：(1)用数学归纳法证明问题时首先要验证时成立,注意不一定为1; (2)在第二步中,关键是要正确合理地运用归纳假设,尤其要弄清由k到k+1时命题的变化 二．基本训练 1.已知某个命题与正整数有关,如果当时该命题成立,那么可以推得时该命题也成立.现已知时该命题不成立,则( ) A 时该命题成立 B 时该命题不成立 C 时该命题不成立 D 时该命题成立 2．用数??归纳法证明2nn2 (n∈N,n?5),则第一步应验证n= ; 3．用数学归纳法证明:时, ,第一步验证不等式 成立；在证明过程的第二步从n=k到n=k+1成立时,左边增加的项数是 . 三、例题分析 例1:已知,证明:. 例2、求证： 例3.是否存在正整数m使得对任意自然数n都能被m整除，若存在，求出最大的m的值，并证明你的结论。若不存在说明理由。 例4.平面内有n个圆,其中每两个圆都相交于两点,且每三个圆都不相交于同一点,求证:这n个圆把平面分成个部分. 例5.设f(k)满足不等式的自然数x的个数 （1）求f(k)的解析式； （2）记，求的解析式； （3）令，试比较与的大小。 三、课堂小结 1数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法; 2用数学归纳法证明命题时,两个步骤缺一不可,且书写必须规范; 3两个步骤中,第一步是基础,第二步是依据.在第二步证明中,关键是一凑假设,二凑结论 四、作业 同步练习 数学归纳法 1．若f（n）=1+ （n∈N*），则当n=1时，f（n）为 （A）1 （B） （C）1+　 （D）非以上答案 2．用数学归纳法证明1+a+a2+…+an+1=（a≠1，n∈N*），在验证n=1成立时，左边计算所得的项是 （A）1 （B）1+a （C）1+a+a2 （D）1+a+a2+a3 3.用数学归纳法证明 1－＋－,则从k到k＋1时,左边应添加的项为 (A) (B) (C) － (D) － 4．某个命题与自然数n有关，如果当n=k（k∈N*）时，该命题成立，那么可推得当n=k+1时命题也成立．现在已知当n=5时，该命题不成立，那么可推得 （A）当n=6时该命题不成立； （B）当n=6时该命题成立 （C）当n=4时该命题不成立 （D）当n=4时该命题成立 5. 则Sk+1 = (A) Sk + (B) Sk + (C) Sk + (D) Sk + 6．由归纳原理分别探求： (1)凸n边形的内角和f(n)= ; (2)凸n边形的对角线条数f(n)= ; (3)平面内n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且任意三个圆不相交于同一点，则该n个圆分平面区域数f(n)= .为真，进而需验证n= ，命题为真。 7．用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n?1?2?3?…(2n─1)(n∈N),从“k到k+1”左端应增乘的代数式为 . 8.是否存在常数a,b,c,使得等式1·22＋2·32＋……＋n(n＋1)2＝(an2＋bn＋c)对一切自然数n成立？并证明你的结论. 9. 求证：（） 10. 11．已知An=(1+lgx)n,Bn=1+nlgx+lg2x,其中n∈N,n?3,,试比较 AN与Bn的大小. 答案 基本训练 1.C 2. 5 3. 例题分析 1.证明:用数学归纳法证明. (1)当时,左边=,右边,等式成立; (2)假设当时等式成立,即有: . 那么当时, 左边= =右边; 所以当时等式也成立. 综合(1)(