高中数学易错题集锦.doc

高中数学易错题集锦 指导教师：任宝安 参加学生：路 栋 胡思敏 李 梅 张大山 高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略。也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对读者的学习有所帮助，加强思维的严密性训练。 忽视等价性变形，导致错误。  EQ \B\LC\{(\A\AL( x0, y0))  ?  EQ \B\LC\{(\A\AL( x + y0, xy0)) ，但  EQ \B\LC\{(\A\AL( x1, y2)) 与  EQ \B\LC\{(\A\AL( x + y3, xy2)) 不等价。 【例1】已知f(x) = ax +  EQ \F(x,b) ，若求的范围。 错误解法 由条件得 ②×2－① ①×2－②得 +得 错误分析 采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数，其值是同时受制约的。当取最大（小）值时，不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的。 正确解法 由题意有, 解得： 把和的范围代入得 在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。 ●忽视隐含条件，导致结果错误。 【例2】解下列各题 设是方程的两个实根，则的最小值是 思路分析 本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当。 利用一元二次方程根与系数的关系易得： 有的学生一看到，常受选择答案（A）的诱惑，盲从附和，这正是思维缺乏反思性的体现。如果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案。 原方程有两个实根 ∴ T 当时，的最小值是8； 当时，的最小值是18 这时就可以作出正确选择，只有（B）正确。 (2) 已知(x+2)2+  EQ \F(y2,4) =1, 求x2+y2的取值范围。 错解 由已知得 y2=－4x2－16x－12，因此 x2+y2=－3x2－16x－12=－3(x+)2+ ∴当x=－ EQ \F(8,3) 时，x2+y2有最大值 EQ \F(28,3) ，即x2+y2的取值范围是(－∞,  EQ \F(28,3) ]。 分析 没有注意x的取值范围要受已知条件的限制，丢掉了最小值。 事实上，由于(x+2)2+  EQ \F(y2,4) =1 T (x+2)2=1－  EQ \F(y2,4) ≤1 T －3≤x≤－1， 从而当x=－1时x2+y2有最小值1 ∴ x2+y2的取值范围是[1,  EQ \F(28,3) ]。 注意有界性：偶次方x2≥0，三角函数－1≤sinx≤1，指数函数ax0，圆锥曲线有界性等。 ●忽视不等式中等号成立的条件，导致结果错误。 【例3】已知：a0 , b0 , a+b=1,求(a+  EQ \F(1,a) )2+(b+  EQ \F(1,b) )2的最小值。 错解 (a+)2+(b+)2=a2+b2+++4≥2ab++4≥4+4=8, ∴(a+)2+(b+)2的最小值是8. 分析 上面的解答中，两次用到了基本不等式a2+b2≥2ab，第一次等号成立的条件是a=b=,第二次等号成立的条件是ab=，显然，这两个条件是不能同时成立的。因此，8不是最小值。 原式= a2+b2+++4=( a2+b2)+(+)+4=[(a+b)2－2ab]+[(+)2－]+4 = (1－2ab)(1+)+4， 由ab≤()2= 得：1－2ab≥1－=, 且≥16，1+≥17， ∴原式≥×17+4= (当且仅当a=b=时，等号成立)， ∴(a + )2 + (b + )2的最小值是 EQ \F(25,2) 。 ●不进行分类讨论，导致错误 【例4】已知数列的前项和，求 错误解法 错误分析 显然，当时，。 错误原因：没有注意公式成立的条件是。 因此在运用时，必须检验时的情形。即：。 ●以偏概全，导致错误 以偏概全是指思考不全面，遗漏特殊情况，致使解答不完全，不能给出问题的全部答案，从而表现出思维的不严密性。 【例5】(1)设等比数列的全项和为.若，求数列的公比. 错误解法 ， 。 错误分析 在错解中，由， 时，应有。 在等比数列中，是显然的，但公比q完全可能为1，因此，在解题时应先讨论公比的情况，再在的情况下，对式子进行整理变形。 正确解法 若，则有但，即得与题设矛盾，故. 又依题意 T T ,即因为，所以所以解得 说明 此题为1996年全国高考文史类数学试题第（21）题，不少考生的解法同错误解法