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高二数学----不等式的证明题及解答高二数学----不等式的证明题及解答
不等式的证明训练题及解答
一、选择题
(1)若logab为整数,且logalogalogba2,那么下列四个结论①a2 ②logab+logba=0 ③0ab1 ④ab-1=0中正确的个数是( )
A1 B2 C3 D4
(2)设x1和x2是方程x2+px+4=0的两个不相等的实数根,则( )
A|x1|2且|x2|2 B|x1+x2|4 C|x1+x2|4 D|x1|=4且|x2|=1
(3)若x,y∈R+,且x≠y,则下列四个数中最小的一个是( )
A B C D
(4)若x0,y0,且≤a成立,则a的最小值是( )
A B C2 D2
(5)已知a,b∈R+,则下列各式中成立的是( )
Acos2θ·lga+sin2θ·lgblg(a+b) B acos2θ·bsin2θ=a+b
Ccos2θ·lga+sin2θ·lgblg(a+b) Dacos2θ·bsin2θa+b
(6)设a,b∈R+,且ab-a-b≥1,则有( )
Aa+b≥2(+1) Ba+b≤+1 Ca+b≥(+1)2 Da+b≤2(+1)
二、填空题
(7)已知x2+y2=1,则3x+4y的最大值是
(8)设x=,则x+y的最小值是
(9)若≤a≤5,则a+的取值范围是
(10)A=1+(n∈N)的大小关系是
(11)实数=x-y,则x的取值范围是 .
三、解答证明题
(12)用分析法证明:3(1+a2+a4)≥(1+a+a2)2
(13)用分析法证明:ab+cd≤
(14)用分析法证明下列不等式:
(1)求证: (2)求证:(x≥4)
(3)求证:a,b,c∈R+,求证:
(15)若a,b0,2ca+b,求证:(1)c2ab;(2)c-ac+
(16)已知x,y∈R+,且x+y2,求证:中至少有一个小于2
(17)设a,b,c∈R,证明:a2+ac+c2+3b(a+b+c)≥0
(18)已知1≤x2+y2≤2,求证:≤x2+xy+y2≤3
(19)设an= (n∈N*),求证:对所有n(n∈N*)都成立
(20)已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0,有两个实数根α,β,证明:
(1)如果|α|2,|β|2,那么2|α|4+b且|b|4
(2)如果2|α|4+b且|b|4,那么|α|2,|β|2
不等式的证明训练题参考答案:
1.A 2.B 3.D 4.B 5.A 6.A
7.5 8.-1 9.[2,] 10.A≥ 11.(-∞,0)∪[4,+∞]
12.证明:要证3(1+a2+a4)≥(1+a+a2)2
只需证3[(1+a2)2-a2]≥(1+a+a2)2,即证3(1+a2+a)(1+a2-a)≥(1+a+a2)2
∵1+a+a2=(a+)2+0
只需证3(1+a2-a)≥1+a+a2,展开得2-4a+2a2≥0,即2(1-a)2≥0成立
故3(1+a2+a4)≥(1+a+a2)2成立
13.证明:①当ab+cd0时,ab+cd成立
②当ab+cd≥0时,欲证ab+cd≤
只需证(ab+cd)2≤()2
展开得a2b2+2abcd+c2d2≤(a2+c2)(b2+d2)
即a2b2+2abcd+c2d2≤a2b2+a2d2+b2c2+c2d2,即2abcd≤a2d2+b2c2
只需证a2d2+b2c2-2abcd≥0,即(ad-bc)2≥0
因为(ad-bc)2≥0成立所以当ab+cd≥0时,ab+cd≤成立
综合①②可知:ab+cd≤成立
14.证明:(1)欲证
只需证
展开得12+216+2,即24+2
只需证(2)2(4+2)2,即4这显然成立
故成立
(2)欲证(x≥4)
只需证(x≥4)
即证(x≥4)
展开得2x-5+2
即
只需证[]2[]2
即证x2-5x+4x2-5x+6,即46这显然成立
故(x≥4)成立
(3)欲证2()≤3()
只需证a+b-2≤a+b+c-3
即证c+2≥3
∵a,b,c∈R+ ,∴c+2=c++≥3
∴c+2≥3成立故原不等式成立
15.证明:(1)∵ab≤()2c2,∴abc2
(2)欲证c-ac+
只需证-a-c,即|a-c|,即a2-2ac+c2c2-ab
只需证a(a+b)2ac
∵a0,只要证a+b2c(已知),故原不等式成立
16.证明:(反证法):假设均不小于2,即≥2,≥2,∴1+x≥2y,1+y≥2x将
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