用割线法求矩阵的极分解.pdf

???年 ?月? 计 算 数 学? 第 ??卷第 ?期? ???．，????? ? ????? ????????? ????????????? ???．??，??．?? 用割线法求矩阵的极分解术??? 邹财盛? 陈小山? ?华南师范大学数学科学学院，广州 ???????? 摘? 要? 本文提出了求 非奇异矩 阵酉极因子的割线法，证 明割线法是 ?一超线性收敛．并用数值例 子说? 明割线法是有效的．? 关键词：割线法；极分解；酉极 因子；?????????范数? ? ? ??????主题分类：?????? ?．引? 言? 本文使用符号：?? 表示 ? ×礼复矩阵集合；?表示适当维数的单位矩阵；【?．???和 『『．?『?? 分别 表示 矩 阵的谱 范数 和 ?????????范数；?? 表 示非奇 异矩 阵? 的逆 ；??表 示矩 阵? 的共? 轭转 置 ．? 设 ? ∈?? ．分解式 【。，。，?? ? ???? ??．??? 称 为矩 阵 ? 的极 分解 ，如果 ? ∈?? 是酉矩 阵，即 ??? ??和 ? ∈?似?是 ???????半正? 定矩阵，即 日??日? ?．此时 ?称为矩阵? 的酉极因子，而 日 称为矩阵 ?的半正定极因子．? 矩阵? 的半正定极因子是唯一确定的，即 ? ：??????．如果 ???????：?，那么矩阵 ?的酉? 极因子 ? 也是唯一的，即 ?：???? ?一?．矩阵? 的极分解可以看成是复数 ?写成极坐标形? 式 ??????????的一个推广．? 矩 阵 的极 分解 可 以通过矩 阵 的奇异 值分解 得到 ．设 ? ∈?似? ??奇异值 分解 为 【??? ? ?? ∑? ．? ??．??? 其 中? ，? ∈?? 是 酉矩 阵和? ∑?????????，．．．，盯??，? ???? ．．．? 之?．? ??．??? 那 么 ? 的极 分解 ??．??的酉极 因子 和半 正定极 因子 可分别 表示 为 【。】? ?? ???， ? ： ????．? ??．??? 与矩阵极分解密切相关的是矩阵的符号分解．设 ?∈?? 没有特征值在虚轴上，那么矩? 阵 ?的符号函数定义为 ?????????：?????一 ．而? ??? 称为矩阵 ? 的符号分解，其中? Ⅳ ???。??．由于矩阵 ? 的符号函数满足 ????，因此对这个矩阵方程应用切线法我们可得? 如下求矩阵符号函数的 ??????方法 ????。? ???? ?? ??