高数下册(同济六版)复习资料.doc

高等数学（一）教案 期末总复习 PAGE - 8 - PAGE - 9 - 第八章 向量与解析几何 向量代数定义定义与运算的几何表达在直角坐标系下的表示向量有大小、有方向. 记作或 模向量的模记作和差 单位向量，则方向余弦设与轴的夹角分别为，则方向余弦分别为 点乘（数量积）， 为向量a与b的夹角叉乘（向量积）  为向量a与b的夹角 向量与，都垂直定理与公式垂直平行交角余弦两向量夹角余弦投影向量在非零向量上的投影  平面直线法向量 点方向向量 点方程名称方程形式及特征方程名称方程形式及特征一般式一般式点法式点向式三点式参数式截距式两点式面面垂直线线垂直面面平行线线平行线面垂直线面平行点面距离 面面距离 面面夹角线线夹角线面夹角   空间曲线：切向量 切“线”方程：法平“面”方程： 切向量 切“线”方程：法平“面”方程： 空间曲面 ：法向量 切平“面”方程： 法“线“方程：  或 切平“面”方程： 法“线“方程：  第十章 重积分 重积分积分类型计算方法典型例题 二重积分 平面薄片的质量 质量=面密度面积利用直角坐标系 X—型 Y—型 P141??例1、例3（2）利用极坐标系 使用原则 (1) 积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示( 含圆弧,直线段 )； (2) 被积函数用极坐标变量表示较简单( 含, 为实数 ) P147—例5（3）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性 当D关于y轴对称时，（关于x轴对称时，有类似结论） P141—例2 应用该性质更方便计算步骤及注意事项 画出积分区域 选择坐标系 标准：域边界应尽量多为坐标轴，被积函数 关于坐标变量易分离 确定积分次序 原则：积分区域分块少，累次积分好算为妙 确定积分限 方法：图示法 先积一条线，后扫积分域 计算要简便 注意：充分利用对称性，奇偶性 三重积分 空间立体物的质量 质量=密度面积利用直角坐标 投影P159—例1 P160—例2利用柱面坐标 相当于在投影法的基础上直角坐标转换成极坐标 适用范围:  eq \o\ac(○,1)积分区域表面用柱面坐标表示时方程简单；如 旋转体  eq \o\ac(○,2)被积函数用柱面坐标表示时变量易分离.如 P161—例3（3）利用球面坐标 适用范围:  eq \o\ac(○,1)积分域表面用球面坐标表示时方程简单;如，球体，锥体.  eq \o\ac(○,2)被积函数用球面坐标表示时变量易分离. 如， P165—10-(1) （4）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性 第十一章曲线积分与曲面积分 曲线积分与曲面积分积分类型计算方法典型例题 第一类曲线积分 曲形构件的质量 质量=线密度弧长参数法（转化为定积分） （1） （2） （3） P189-例1 P190－3 平面第二类曲线积分 变力沿曲线所做的功参数法（转化为定积分） P196-例1、例2、例3、例4（2）利用格林公式（转化为二重积分） 条件：①L封闭，分段光滑，有向（左手法则围成平面区域D） ②P，Q具有一阶连续偏导数 结论： 应用：P205－例4 P214-5(1)(4)（3）利用路径无关定理（特殊路径法） 等价条件：① ② ③与路径无关，与起点、终点有关 ④具有原函数 （特殊路径法，偏积分法，凑微分法） P211-例5、例6、例7（4）两类曲线积分的联系  空间第二类曲线积分 变力沿曲线所做的功 （1）参数法（转化为定积分） （2）利用斯托克斯公式（转化第二类曲面积分） 条件：①L封闭，分段光滑，有向 ②P，Q，R具有一阶连续偏导数 结论： 应用：P240-例1 第一类曲面积分 曲面薄片的质量 质量=面密度面积投影法 ： 投影到面 类似的还有投影到面和面的公式P217-例1、例2 第二类曲面积分 流体流向曲面一侧的流量（1）投