高等数学B一考纲.doc

高等数学B（一）考试大纲 考生应按本大纲的要求，了解或理解“高等数学”中函数、极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学；学会、掌握或熟练掌握上述各部分的基本方法。应注意各部分知识的结构及知识的内在联系；应具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力；能运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明，准确地计算；能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题。 本大纲对内容的要求由低到高，对概念和理论分为“了解”和“理解”两个层次；对方法和运算分为“会”、“掌握”和“熟练掌握”三个层次。 教材：同济大学数学系 《高等数学》第五版 高等教育出版社 参考书：陈春宝 沈家骅 《高等数学练习与自测》同济大学出版社 复习考试内容 函数、极限和连续 （一）函数 1．知识范围 （1）函数的概念: 函数的定义,函数的表示法,分段函数,隐函数 （2）函数的性质: 单调性,奇偶性,有界性,周期性 （3）反函数: 反函数的定义,反函数的图像 （4）基本初等函数: 幂函数,指数函数,对数函数,三角函数,反三角函数 （5）函数的四则运算与复合运算 （6）初等函数 2．要求 （1）理解函数的概念。会求函数的表达式、定义域及函数值。会求分段函数的定义 域、函数值，会作出简单的分段函数的图像 （2）理解函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性 （3）了解函数 与其反函数之间的关系（定义域、值域、图 像），会求单调函数的反函数 （4）熟练掌握函数的四则运算与复合运算 （5）掌握基本初等函数的性质及其图像 （6）了解初等函数的概念 （7）会建立简单实际问题的函数关系式 3.考核点 函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性，分段函数 （二）极限 1．知识范围 （1）数列极限的概念: 数列,数列极限的定义 （2）数列极限的性质: 唯一性,有界性,四则运算法则,夹逼定理,单调有界数列极 限存在定理 （3）函数极限的概念: 函数在一点处极限的定义,左、右极限及其与极限的关系,趋于无穷时函数的极限,函数极限的几何意义 （4）函数极限的性质: 唯一性,四则运算法则,夹逼定理 （5）无穷小量与无穷大量: 无穷小量与无穷大量的定义,无穷小量与无穷大量的关 系,无穷小量的性质无穷小量的阶 （6）两个重要极限 2．要求 （1）理解极限的概念.掌握函数在一点处的左极限与右极限，理解函数在一点处极 限存在的充分必要条件 （2）了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则，会用极限的两个准则 （3）理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量 的关系。会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。熟练掌握等价 无穷小量代换求极限 （4）熟练掌握用两个重要极限求极限的方法 3.考核点 左右极限；极限的运算（等价无穷小，通分，有理化等）；重要极限；无穷小的阶 （三）连续 1．知识范围 （1）函数连续的概念: 函数在一点处连续的定义,左连续与右连续,函数在一点处连 续的充分必要条件, 函数的间断点及其分类 函数在一点处连续的性质: 连续函数的四则运算,复合函数的连续性,反函数 的连续性 闭区间上连续函数的性质: 有界性定理,最大值与最小值定理,介值定理（包括 零点定理） （4）初等函数的连续性 2．要求 （1）理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在的 关系，掌握判断函数（含分段函数）在一点处的连续性的方法 （2）掌握函数的间断点及确定其类型 （3）掌握在闭区间上连续函数的性质，会用零点定理及介值定理推证一些简单命题 （4）理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用连续性求极限 3.考核点 分段函数连续的判定；间断点讨论；零点定理 二、一元函数微分学 （一）导数与微分 1．知识范围 （1）导数概念: 导数的定义,左导数与右导数,函数在一点处可导的充分必要条件 导数的几何意义与物理意义,可导与连续的关系 （2）求导法则与导数的基本公式: 导数的四则运算,反函数的导数,导数的基本公式 （3）求导方法: 复合函数的求导法,隐函数的求导法,对数求导法,由参数方程确定 的函数的求导法,求分段函数的导数 （4）高阶导数: 高阶导数的定义,高阶导数的计算 （5）微分: 微分的定义,微分与导数的关系,微分法则 一阶微分形式不变性 2．要求 （1）理解导数的概念及其几何意义，理解可导性与连续性的关系，掌握用定义求函 数在一点处的导数的方法 （2）掌握曲线上一点处的切线方程与法线方程 （3）熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则及复合函数的求导方法，会求反函数