《数值分析》数值积分选编.ppt

第四章 数值积分 数值积分是数值计算的重要部分，它是求定积分的一种近似方法,具有实际意义. §4.1数值积分的一般概念 数值求积公式 讨论如下形式的数值求积公式 (4.1.1) 称为机械求积公式. 其中Hi(i=0,1,2,…n)称为求积系数， xi(i=0,1,2,…n)称为求积节点. 称为求积公式的余项. 数值积分问题可分解为如下三个问题: (1)精确性程度的衡量标准问题； (2)求积公式具体构造问题； (3)余项估计问题. 求积公式的代数精度 定义　若求积公式(4.1.1)对所有次数不超过m的多项式都精确成立，而对于某个m+1次多项式不能精确成立，则称此求积公式具有m次代数精度（或称该公式是m阶的）. 上述定义等价于：若求积公式(4.1.1)对f(x)=1,x,x2,…,xm均精确成立，而对f(x)=xm+1不精确成立,则称此求积公式具有m次代数精度（或称该公式是m阶的）. 代数精度的概念是衡量求积公式精确性的标准. 插值型求积公式 以给定互异点x0, x1, …, xn 为插值节点,作f(x)的n次插值多项式φn(x) ,把φn(x) 写成Lagrange插值多项式的形式 求积系数 对于求积公式 如果求积系数 (4.1.3) 则称(4.1.1)为插值型求积公式. 其余项 若公式(4.1.1)是插值型求积公式，则它至少具 有n次代数精度. 反之，若求积公式(4.1.1)至少具有n次代数精度，因lk(x)Mn, k=0,1,2,,n.求积公式(4.1.1)对lk(x)精确成立，即 综上有 定理 求积公式(4.1.1)至少具有n次代数精度的充分必要条件是它是插值型的. §4.2 Newton-Cotes公式 Newton-Cotes公式 将区间[a,b]n等分，其分点为xi=a+ih ， i=0,1,2,,n ， h=(b-a)/n，以这n+1个等距分点 为插值节点,作n次插值多项式 求积系数 Newton-Cotes系数 作变量替换x=a+th，于是 记 (4.2.1) 称为牛顿—柯特斯（Newton-Cotes）系数. 则 Hi=(b-a)Ci (n) (4.2.1) Newton-Cotes公式 (4.2.3) 称等距节点的插值型求积公式(4.2.3)为n阶 牛顿—柯特斯（Newton-Cotes）公式. 当n=1时, Newton-Cotes公式(4.2.3)为梯形求积公式 (4.2.4) H0= H1 =(b-a)/2, C0= C1 =1/2 几何意义:用梯形面积近似代替曲边梯形面积. 当n=２时, Newton-Cotes公式(4.2.3)为抛物线 (Simpson)求积公式 (4.2.5) H0=H2=(b-a)/6, H1=2(b-a)/3, C0=C2 =1/6, C1 =2/3 当n=4时, Newton-Cotes公式(4.2.3)为Cotes公式公式