《数值分析与算法》第二讲-非线性方程求根选编.pptx

数 值 分 析 (2) Numerical Analysis Wenjian Yu 2 第二章 非线性方程求根 引言 二分法 不动点迭代法 牛顿迭代法 牛顿法的改进 有关的实用技术 Wenjian Yu 3 引言 Wenjian Yu 4 非线性方程基本理论       Wenjian Yu 5 非线性方程基本理论   (绝对条件数)   Wenjian Yu 6 二分法 Wenjian Yu 7 二分法     Wenjian Yu 8 二分法 算法稳定性: 运算简单, 误差逐渐缩小, 因此稳定   Wenjian Yu 9 二分法     (‘format hex’按16进制显示)   (定理2.2) Wenjian Yu 10 二分法的总结       Wenjian Yu 11 不动点迭代法 Wenjian Yu 12 不动点迭代     推出迭代法:     x* x   计算过程的几何含义 为什么？ x0 x1 x2   Wenjian Yu 13 不动点迭代       关键问题：如何判断收敛性？     (5位有效数字不变)     (计算量较小) Wenjian Yu 14 全局收敛的充分条件                       唯一性的证明用反证法 Wenjian Yu 15 全局收敛的充分条件         (条件(1)是算法执行的前提)       Wenjian Yu 16 全局收敛的充分条件           这就是定理2.5 为什么可以换？       便于使用 Wenjian Yu 17 全局收敛的充分条件             , 满足条件(2)’ !   不满足条件(1), 无法说明是否收敛 思考: 从图形角度, 举不满足条件(1), (2)但收敛的例子 Wenjian Yu 18 局部收敛       (强调存在某个邻域) (利用定理2.5)         满足条件(1). 根据定理2.5, 收敛！ Wenjian Yu 19 局部收敛             误差有放大的趋势 可能 Wenjian Yu 20 稳定性与收敛阶         (合理设置判停准则, 稍后讲牛顿法时介绍)     线性 平方(超线性) Wenjian Yu 21 稳定性与收敛阶                 Wenjian Yu 22 稳定性与收敛阶                 矛盾! Wenjian Yu 23 牛顿法 Wenjian Yu 24 牛顿法       x* x xk xk+1   =0             Wenjian Yu 25 牛顿法           (请自行推导)       Wenjian Yu 26 牛顿法         (课本2.4.2小节) Wenjian Yu 27 迭代法的判停准则     判停准则决定了解的准确度、及迭代步数(计算量) 相比二分法, 较难设置 敏感问题   Wenjian Yu 28 牛顿法的问题               一阶导数不连续! Wenjian Yu 29 割线法与抛物线法 Wenjian Yu 30 割线法与抛物线法     x* x     (超线性) xk-1 xk xk+1 Wenjian Yu 31 割线法与抛物线法   抛物线 xk+1 0 x y xk xk-1 xk-2     Wenjian Yu 32 实用的求根技术 Wenjian Yu 33 实用的方程求根技术 阻尼牛顿法 多项式方程求根 (2.6.2小节不要求) 通用求根算法zeroin (简略) Wenjian Yu 34 阻尼牛顿法           Wenjian Yu 35 通用求根算法zeroin   Wenjian Yu 36 通用求根算法zeroin                             纠正上一步解的偏离 Wenjian Yu 37 通用求根算法zeroin   详细的Matlab算法程序见课本pp. 50 Wenjian Yu 38 应用实例   (2.7.1节不要求)   Wenjian Yu 39 应用实例       x , t x , t 最大值1 最小值0   见t_pipe.m