常微分方程练习试卷及答案.doc

常微分方程练习试卷 填空题。 1. 方程是 阶 （线性、非线性）微分方程. 2. 方程经变换，可以化为变量分离方程 . 3. 微分方程满足条件的解有 个. 4. 设常系数方程的一个特解，则此方程的系数 ， ， . 5. 朗斯基行列式是函数组在上线性相关的 条件. 6. 方程的只与有关的积分因子为 . 7. 已知的基解矩阵为的，则 . 8. 方程组的基解矩阵为　　　　　　　　　　　． 9.可用变换 将伯努利方程 化为线性方程. ?? 10 .是满足方程 和初始条件?????? ?? 的唯一解. ? 11.方程 的待定特解可取????????? 的形式:??????? 12. 三阶常系数齐线性方程 的特征根是 计算题 1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直. 2．求解方程. 3. 求解方程 。 4．用比较系数法解方程. .???? 5．求方程 的通解. 6．验证微分方程是恰当方程，并求出它的通解. 7．设 ， ，试求方程组的一个基解基解矩阵，求满足初始条件的解. 8. 求方程 通过点 的第二次近似解. 9.求 的通解 10.若 试求方程组的解 并求expAt 三、证明题 1. 若是的基解矩阵，求证：存在一个非奇异的常数矩阵，使得. 2. 设是积分方程 的皮卡逐步逼近函数序列在上一致收敛所得的解，而是这积分方程在上的连续解，试用逐步逼近法证明：在上. 3. 设 都是区间 上的连续函数, 且 是二阶线性方程的一个基本解组. 试证明: (i)? 和 都只能有简单零点(即函数值与导函数值不能在一点同时为零); (ii)? 和 没有共同的零点; (iii)?和 没有共同的零点. 4.试证：如果是满足初始条件的解，那么 . 答案 一.填空题。 1. 二，非线性 2.， 3.无穷多 4. 5.必要 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 1, 二、计算题 1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直. 解: 设曲线方程为 , 切点为(x,y), 切点到点(1,0)的连线的斜率为 , 则由题意 可得如下初值问题: . ????????????????? ?????????????? ?分离变量, 积分并整理后可得 . ?????????? ?代入初始条件可得 , 因此得所求曲线为?. ?? 2.求解方程. 解：由 求得 令 则有 令，解得,积分得, 故原方程的解为 . 3. 求解方程 解? 令，直接计算可得，于是原方程化为 ?，故有或，积分后得，即，所以 ? 　就是原方程的通解，这里为任意常数。 4.用比较系数法解方程. .??? 解：特征方程为 , 特征根为 . ? 对应齐方程的通解为 .?????????????? 设原方程的特解有形如 ???????????????????? 代如原方程可得 利用对应系数相等可得 , 故 . ???????????????? 原方程的通解可以表示为( 是任意常数) ?. 5.求方程 的通解. 解：先解得通解为, 令为原方程的解， 代入得, 即有, 积分得 , 所以 为原方程的通解. 6．验证微分方程是恰当方程，并求出它的通解. 解：由于，因为所以原方程为恰当方程. 把原方程分项组合得, 或写成, 故原方程的通解为. 7．设 ， ，试求方程组的一个基解基解矩阵，求满足初始条件的解. 解：特征方程为 求得特征值,对应的特征向量分别为 可得一个基解矩阵 ，又因为 ， 于是，所求??解为 8. 求方程 通过点 的第二次近似解. 解: 令，于是 9.求 的通解 解：方程可化为 ， 令则有（*）， （*）两边对y求导得， 即，由得，即. 将y代入（*