《连续体力学》习题及解答8选编.doc

PAGE  PAGE 389 8 粘性物质 (一) 概念、理论和公式提要 粘性是指物质的力学行为与时间相关的属性。这种属性表现在(1)物质的响应与干扰施加的快慢有关，即应变率相关性，(2)物质的响应与干扰的持续时间有关(后效)。 8-1 粘性流体 流体区别于固体的主要特征有二：(1)流体是可流动的物质，只在静水应力(或称为各向同性应力，记作)状态下才能维持平衡；(2)流体可在没干扰的情况下随容器改变自己的形状，只要体积不变，无论形状如何变化，流体的力学状态不变。因此流体的应力状态与没有直接关系。但是 = 当体积不变时，亦不变；所以可以认为，、是通过与应力相关，从而对于流体常用代替应变作为基本状态变量。 (1) 线性粘性流体 剪应力与变形率成线性关系的流体称为线性流体，或称为Newton流体。Newton流体是常见流体的最好近似。Newton流体的本构方程可写作 (8-1-1) 是反映流体性质的四阶张量。当流体处于静止状态，；于是式(8-1-1)变为 (8-1-2) 这是流体静力学的本构方程。由此可见，流动流体的应力(式8-1-1)可分为两部分，(a)各向同性应力，这是准保守应力，可逆的应力，即；(b)与变形率相关的应力，称为粘性应力，是总应力中的耗散部分，即。为明确计，将。于是式(8-1-1)?可写成 (8-1-3) (8-1-4) 式(8-1-3)应满足客观性原理；其中都客观的Euler型张量，于是必须是各向同性四阶张量，即有 式中的函数。将上式代入式(8-1-3)，得到 (8-1-5) 称为粘性系数。上式是各向同性张量函数，所以线性粘性流体必定是各向同性的，毋需引入“流体是各向同性”的假设。 将，式(8-1-5)又可写成 (8-1-6) 其中 (8-1-7) 式中分别表征畸变和体胀的粘性效应。由式(8-1-6)可求出运动中流体的平均应力为 (8-1-8) 当时，得到Navier-Stocks流体的本构方程 (8-1-9) (8-1-10) 当时，流体中的应力状态是各向同性的，本构方程变为 (8-1-11) 这时常常假设，即认为流体中平均应力等于静水压力，称为Stocks假设。 当流体不可压缩时，为常数，但存在不确定应力，将它并入静水压力，得到 (8-1-12) 式中是不定值，。 当，即流体是非粘性的，式(8-1-5)简化为 (8-1-13) 即非粘性流体中的应力，无论是在运动中或是静止，总是静流体应力。如果非粘性流体又是不可压缩的，则式(8-1-12)简化为 (8-1-14) 为不确定值。 (2) 非线性粘性流体 非线性粘性流体常称为非Newton流体，设将此类流体对应于粘性应力的本构方程写作 (8-1-15) 式中不是客观量，但本构方程应是客观的，因此式(8-1-15)应改为 客观性原理要求响应函数满足下式 (8-1-16) 式中是任意的正常正交张量，于是上式又是响应函数为各向同性函数的条件。由此可见，如果假定流体的应力只与速度梯度、密度和温度有关，则客观性原理必然导致流体是各向同性的，毋需引入各向同性的假设。 已经证明，对称张量函数为各向同性函数的充要条件是 (8-1-17) 或者 (8-1-18) 式中的不变量及的函数。 对于不可压缩流体，的不变量为 (8-1-19) 则的球张量(或称的各向同性应力)为 (8-1-20) 这部分应力在可实现变形运动上的功率为零(因流体不可压缩)，因此可以作为准保守应力并入之中成为非确定应力的一部分。于是剩下的粘性应力成为偏张量，为此不失一般性，可令 这相当于在应力中已扣去了平均应力；于是代入式(8-1-17)和(8-1-18)，分别得到的偏张量及为 (8-1-21) (8-1-22) 式(8-1-22)是将分解为球张量和偏张量之和。对应于上列本构方程的流体称为Reiner-Rivlin流体；式