《连续体力学》习题及解答7选编.doc

PAGE  PAGE 356 7 弹性物质 概念、理论和公式提要 7-1 Cauchy弹性物质 弹性是一个重要的流变模型，很多物质在一定的条件下都呈现弹性性质。弹性物质的显著特征是相对于参考构形，现时构形上的应力唯一确定于变形，与从的变形过程无关，与从所经历的时间无关(应力所作的功或应变能则不一定与过程无关)。这样的弹性物质称为Cauchy弹性物质。 (1) Cauchy弹性物质的本构方程 弹性物质的应力与变形史无关，所以Noll简单物质的本构方程为 (7-1-1) 是相对于给定参考构形对应于Cauchy应力的响应函数。上式表明，现时构形上的Cauchy应力唯一确定于变形的现时值。参考构形改变，响应函数要改变；应力形式改变，响应函数也改变。因此响应函数必定是相对于某参考构形，对应于某种应力的。 客观性原理要求式(7-1-1)具有如下几种形式 (7-1-2) (7-1-3) (7-1-4) (7-1-5) 此处为简单计，对于不同的应变或变形采用了同一的函数记号。 由上列本构方程可以导出对应于其他应力的本构方程 (7-1-6) (7-1-7) (7-1-8) 式中 (7-1-9) (7-1-10) (2) Cauchy弹性物质的对称性 各向同性弹性 Cauchy弹性物质的本构方程一般地为 如果物质对，则有 (7-1-11) 所以满足上式的(可限制为正常正交张量)构成弹性物质的对称群。 对于各向同性弹性物质，式(7-1-11)中的可以是任意的正常正交张量。取，则式(7-1-11)变为 (7-1-12) 上式还应满足客观性原理，即 (7-1-13) 式中是任意的正常正交张量，这正说明，响应函数应是各向同性张量函数(参阅式2-6-14)，即有 (7-1-14) 式中的主不变量的标量函数。 如果在式(7-1-13)中取，则得到 式中为Lagrang型张量。将式(7-1-14)代入上式左侧，就得到 (7-1-16) (3) 弹性张量 线性弹性 已知Cauchy弹性本构方程(式7-1-8) (7-1-17) 则有 (7-1-18) (7-1-19) 是四阶张量，称为弹性张量。其分量式为 (7-1-20) 且有 (7-1-21) 所以的81个分量中只有36个是独立的。的分量称为弹性系数。 如果都是常数，称为弹性常数；这样的弹性物质称为线弹性物质。于是积分式(7-1-18)，注意到是常数张量，得到 (7-1-22) 此处假定参考构形是自然构形，在其上，。 大多数物质在小变形条件下呈现为线性弹性，此时为小应变条件下的应变张量。于是上式可近似写成 (7-1-23) 可以证明，对于线性弹性，恒有 上式表明，线性弹性物质只有21个独立的弹性常数。 对于各向同性线弹性物质，应是四阶各向同性张量，即有 (7-1-25) 式中为任意标量。将上式代入(7-1-23)，得到 (7-1-26) 上式就是小变形条件下的广义Hooke定律的一种形式，为Lame常数。 7-2 Green弹性物质 (1) 弹性势函 已知在参考构形上单位体积的应变能率为(式4-5-7) (7-2-1) 式中，使得 则有 (7-2-2) 称为弹性势函或应变能函数；具有弹性势函的弹性物质称为Green弹性物质或超弹性物质。 由式(7-2-1)，弹性势函可以写作 为简单计，经常将上式直接写成 (7