【全程复习方略】20172.3奇偶性周期性(讲课)选编.ppt

第三节 函数的奇偶性与周期性;【知识梳理】 1.函数的奇偶性;2.周期性 (1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当x取定义域内的任何值时,都有____________, 那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周 期.;(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中 _____________的正数,那么这个最小正数就叫做f(x) 的最小正周期.;【特别提醒】 R上的奇函数f(x)→ f(0)=0 1.函数奇偶性常用结论： (1)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|). (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性. (3)在公共定义内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶, 奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇. （4）定义在R上的函数f(x)=;2.函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x, (1)若f(x+a)=f(x)，则T=a(a＞0). (2)若f(x+a)=-f(x) ,则T=2a(a＞0). (3)若f(x+a)= 则T=2a(a0). (4)若f(x+a)= ,则T=2a(a0). ;【小题快练】 链接教材 练一练 1.(必修1P39A组T6改编)已知函数f(x)是定义在R上的 奇函数，且当x0时，f(x)= 则f(-1)等于( ) A．-2 B．0 C．1 D．2 【解析】选A.f(-1)=-f(1)=-(1+1)=-2.;2.(必修1P39A组T6改编) 已知f(x)是定义域为R的偶函数, 当x≥0时,f(x)=x2-4x, 那么,不等式f(x+2)5的解集是　　　.;【解析】方法一:当x≤0时,-x≥0,f(-x)=(-x)2-4(-x) =x2+4x,又f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x)=x2+4x,当 x∈[-2,+∞)时,x+2≥0,f(x+2)=(x+2)2-4(x+2)5, 解得:-3x3,所以-2≤x3; 当x∈(-∞,-2)时,x+20,f(x+2)=(x+2)2+4(x+2)5, 解得-7x-1,所以-7x-2. 综上可得-7x3,故f(x+2)5的解集是{x|-7x3}.;方法二:如图所示,可知f(x)5的解集为{x|-5x5}, 所以-5x+25,即-7x3, 故f(x+2)5的解集为{x|-7x3}. 答案:{x|-7x3};感悟考题　试一试 3.(2015·北京高考)下列函数中为 偶函数的是(　　) A. y=x2sinx B. y=x2cosx C. y=|lnx| D. y=2-x;【解析】选B.根据偶函数的定义知偶函数满足f(-x) =f(x)且定义域关于原点对称,A选项为奇函数,B选项为偶函数,C选项定义域为(0,+∞),不具有奇偶性,D选项既不是奇函数,也不是偶函数.;4.(2014·全国卷Ⅰ)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是　(　　) A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数;【解析】选C. 设H(x)=f(x)·|g(x)|, 则H(-x)=f(-x)·|g(-x)|, 因为f(x)是奇函数,g(x)是偶函数, 所以H(-x)=-f(x)·|g(x)|=-H(x), 故H(x)是奇函数.;考向一　函数奇偶性的判断 【典例1】(1)(2015·福建高考) 下列函数为奇函数的是　(　　) A.y= B.y=|sinx| C.y=cosx D.y=ex-e-x;(2)判断下列函数的奇偶性: ①f(x)= ②f(x)=3x-3-x； ③f(x)= ④f(x)=;【解题导引】(1)奇函数满足函数关系式f(-x)=-f(x).当在原点处有定义时,f(0)=0. (2)先求出定义域,看定义域是否关于原点对称,在定义域内,解析式带绝对值号的先化简,计算f(-x),再判断f(-x)与f(x)之间的关系.;【规范解答】(1)选D.函数y= 是非奇非偶函数；y=|sin x|和y=cos x是偶函数；y=ex-e-x是奇函数． (2)①因为由 得x=±1， 所以f(x)的定义域为{-1,1}． 又f(1)+f(-1)=0，f(1)-f(-1)=0，即f(x)=±f(-x)． 所以f(x)既是奇函数又是偶函数;;②因为f(x)的定义域为R， 所以f(-x)=3-x-3x=-(3x-3-x)=-f(x)， 所以f(x)为