数学模型第三章1数学模第三章1.doc

PAGE 31 PAGE 55 第三章 优化模型 当决策者要在要在许多可供选择的策略中作出抉择，选出最佳的策略。这类问题称为优化问题。描述优化问题的数学模型称为优化模型。 本章主要介绍一些可用微分方法解决的优化模型 §3.1存贮模型 3.1.1问题描述 通常工厂要订购各种原材料，存在仓库里供生产用；商店要成批地购进各种商品供零售用。那么每隔多长时间订货一次每次订货量为多少最合算？ 这类问题称为存贮问题。 3.1.2 模型假设 1 每隔T天订货一次，即订货周期为T天，设订货可立即送到； 2 每次订货量为Q吨； 3 每次订货费用为C1元（不包括买货费用，与Q无关）； 4 每天对货物的需求量为r吨； 5 货物每吨每天的库存费用为C2元； 6 货物每天每吨的缺货费用为C3元（因缺货而造成的损失）； 7 用t表示从第一次订货算起的时间（单位：天），q表示库存量，C表示总费用. 3.1.3建模与求解 总费用=订货费+库存费+缺货费 Q O t T 2TQ q=Q-rt qQ 库存量图 图3.1.1 （一）不允许缺货的情形 即每当库存量降至0时就立即补足。此时不存在缺货费。 当0≤t≤T时，平均库存量为Q/2,从而库存费为C2TQ/2，故 总费用C= C1+ C2TQ/2 日均费用 ， ∵t=T时，q=0 , ∴Q=rT, 即T=Q/r. ∴ (Q0) 令 得 解出驻点 从而 ∵ ∴驻点Q*就是最小值点。 ∴ T*为最佳订货周期，Q*为最佳订货量。 称为EOQ（Economic Ordering Quantity）公式. （二）允许缺货的情形 Q1 O t T1 q=Q1-rt qQ 库存量图 T Qs 图3.1.2 当库存量下降至0时，就实行“缺货预约”的办法。即待进货后补偿。 Q1最大库存量，Qs允许最大缺货量, Q= Q1+Qs 在0≤t≤T时，有T1天要交库存费,平均每天库存量按Q1/2来算,库存费= 另有T-T1天要支付缺货费，平均每天缺货量按Qs/2来算, 缺货费=，又因Qs=r(T-T1) ∴缺货费= ∴总费用C=C1++,又因T1=Q1/r ∴总费用 C=C1++ ∴日均费用 ,这里T与Q1是变量. 令，得，解出，再把此式代入方程 解得 从而 ， 当C3→+∞时，Qs*→0, Q1*=, ，即变为不允许缺货的情形。 §3.2 森林灭火 3.2.1问题描述 当森林失火时，消防站应派多少消防队员去灭火呢？派的队员越多，火灾损失越小，但救援开支越大。派多少队员去灭火，才能使总费用（火灾损失+救援开支）最小呢？ 3.2.2问题分析 （1）火灾损失与森林被烧面积有关，而被烧面积又与从起火到火灭的时间有关，而这时间又与消防队员人数有关。 （2）救援开支由两部分构成，①灭火剂的消耗与消防队员酬金（与人数和时间有关）；②运输费（与人数有关）。 （3）在无风的情况下，可认为火势以失火点为圆心，均匀向四周蔓延。半径与时间成正比，从而被烧面积应与时间的平方成正比。 3.2.3模型假设 1. 火灾损失与森林被烧面积成正比。记开始失火的时刻为t=0，开始灭火的时刻为t=t1，火被完全扑灭的时刻为t=t2。设在时刻t森林被烧面积为B(t)，C1表示单位面积被烧的损失，则总损失为C1B(t2). 2. 表示单位时间被烧面积(燃烧速度：m2/min),当t=0与t=t2时最小，且为0，当t=t1时最大，记.由前面分析，B(t)与t2成正比,故不妨设在区间[0,t1]与[t1,t2]上，都是t的线性函数。 在[0,t1] 上，斜率为β0，β称为火势蔓延速度(燃烧速度的变化速度：m2/min2),在[t1,t2] 上,斜率为β-λx0,其中x为消防队员人数。λ为队员的平均灭火速度(控制蔓延速度的变化速度：m2/min2/人)。 3. 灭火剂的消耗与消防队员酬金，单位时间平均每人为C2, 运输费平均每人费用为C3, t1 t2 O t M N dB/dt b β0 β-λx0 图3.2.1 ∴救援开支= C2x(t2-t1)+ C3 x, (3.2.1) 3.2.4模型的构成与求解 由假设2，与t的关系如图所示。利用定积分的牛顿-莱布尼兹公式，森林被被烧的最大面积为 B(t2)=B(t2)-B(0)= ∴总费用 , (3.2.2) 此式中t2与x是变量，其余为常数。 但t2与x是密切相关的，由图可知 ∴ 从而，总费用可化为一元函数 令，解得唯一驻点 , (3.2.3) 又0，即驻点就是最小值点。 3.2.5 结果解释 从结果(3.2.3)看，xβ/λ，这表示为了能把火扑灭，派出的消防队员人数要大于β/λ，这保证β-λx0，使燃烧速度趋于0.而(3.2.3)的