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新人教版高考用空间向量解决立体几何问题专题复习新人教版高考用空间向量法解决立体几何问题专题复习
专题十四 用空间向量法解决立体几何问题
必备知识
直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法
设直线l,m的方向向量分别为a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2).平面α、β的法向量分别为μ=(a3,b3,c3),v=(a4,b4,c4)(以下相同).
(1)线面平行
l∥α?a⊥μ?a·μ=0?a1a3+b1b3+c1c3=0.
(2)线面垂直
l⊥α?a∥μ?a=kμ?a1=ka3,b1=kb3,c1=kc3.
(1)要证明线面平行,只需证明eq \o(DE,\s\up6(→))与平面ABC的法向量垂直;另一个思路则是根据共面向量定理证明向量eq \o(DE,\s\up6(→))与eq \o(NC,\s\up6(→))相等.
(2)要证明线面垂直,只要证明eq \o(B1F,\s\up6(→))与平面AEF的法向量平行即可;也可根据线面垂直的判定定理证明eq \o(B1F,\s\up6(→))⊥eq \o(EF,\s\up6(→)),eq \o(B1F,\s\up6(→))⊥eq \o(AF,\s\up6(→)).
(3)面面平行
α∥β?μ∥v?μ=λv?a3=λa4,b3=λb4,c3=λc4.
(4)面面垂直
α⊥β?μ⊥ν?μ·v=0?a3a4+b3b4+c3c4=0.
空间角的计算
(1)两条异面直线所成角的求法
设直线a,b的方向向量为a,b,其夹角为θ,则
cos φ=|cos θ|=eq \f(|a·b|,|a||b|)(其中φ为异面直线a,b所成的角).
(2)直线和平面所成角的求法
如图所示,设直线l的方向向量为e,平面α的法向量为n,直线l与平面α所成的角为φ,两向量e与n的夹角为θ,则有sin φ=|cos θ|=eq \f(|e·n|,|e||n|).
(3)二面角的求法
①利用向量求二面角的大小,可以不作出平面角,如图所示,〈m,n〉即为所求二面角的平面角.
②对于易于建立空间直角坐标系的几何体,求二面角的大小时,可以利用这两个平面的法向量的夹角来求.
如图所示,二面角αlβ,平面α的法向量为n1,平面β的法向量为n2,〈n1,n2〉=θ,则二面有αlβ的大小为θ或πθ.
eq \a\vs4\al\co1(用向量法求线线角、线面角)
多以空间几何体、平面图形折叠成的空间几何体为载体,考查线线角、线面角的求法,正确科学地建立空间直角坐标系是解此类题的关键.
(1)运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤为:①建立恰???的空间直角坐标系;②求出相关点的坐标;③写出向量坐标;④结合公式进行论证、计算;⑤转化为几何结论.
(2)求直线与平面所成的角θ,主要通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角α求得,即sin θ=|cos α|.
借助向量求二面角是解决空间角问题的常用方法.求解过程中应注意以下几个方面:
(1)两平面的法向量的夹角不一定就是所求的二面角,有可能两法向量夹角的补角为所求;
(2)求平面的法向量的方法:①待定系数法:设出法向量坐标,利用垂直关系建立坐标的方程解之;②先确定平面的垂线,然后取相关线段对应的向量,即确定了平面的法向量.当平面的垂线较易确定时,常考虑此方法.
空间距离的计算
直线到平面的距离,两平行平面的距离均可转化为点到平面的距离.
点P到平面α的距离,d=eq \f(|\o(PM,\s\up6(→))·n|,|n|)(其中n为α的法向量,M为α内任一点).
必备方法
1.空间角的范围
(1)异面直线所成的角(θ):0<θ≤eq \f(π,2);
(2)直线与平面所成的角(θ):0≤θ≤eq \f(π,2);
(3)二面角(θ):0≤θ≤π.
2.用向量法证明平行、垂直问题的步骤:
(1)建立空间图形与空间向量的关系(可以建立空间直角坐标系,也可以不建系),用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面;
(2)通过向量运算研究平行、垂直问题;
(3)根据运算结果解释相关问题.
3.空间向量求角时考生易忽视向量的夹角与所求角之间的关系:(1)求线面角时,得到的是直线方向向量和平面法向量的夹角的余弦,而不是线面角的余弦;
(2)求二面角时,两法向量的夹角有可能是二面角的补角,要注意从图中分析.
考问题14 用空间向量法解决立体几何问题
1.(2012·山东)在如图所示的几何体中,四边形ABCD是等腰梯形,AB∥CD,∠DAB=60°,FC⊥平面ABCD,AE⊥BD,CB=CD=CF.[来源:学科网]
(1)求证:BD⊥平面AED;
(2)求二面角F - BD- C的余弦值.
(1)证明 因为四边形ABCD是等腰梯形,AB∥CD,∠DAB=60°,
所以∠ADC=∠BCD=1
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