1.蒙特卡罗方法概述讲义.ppt

第一章 蒙特卡罗方法概述;第一章 蒙特卡罗方法概述;蒙特卡罗方法的基本思想;例1. 蒲丰氏问题; 一些人进行了实验，其结果列于下表 ：;例2. 射击问题（打靶游戏） ; 现假设该运动员进行了Ｎ次射击，每次射击的弹着点依次为r1，r2，…，rN，则Ｎ次得分g(r1)，g(r2)，…，g(rN)的算术平均值 代表了该运动员的成绩。换言之，为积分g的估计值，或近似值。 在该例中，用Ｎ次试验所得成绩的算术平均值作为数学期望g的估计值（积分近似值）。 ;基本思想 ; 因此，可以通俗地说，蒙特卡罗方法是用随机试验的方法计算积分，即将所要计算的积分看作服从某种分布密度函数f(r)的随机变量ｇ(r)的数学期望 通过某种试验，得到Ｎ个观察值r1，r2，…，rN（用概率语言来说，从分布密度函数f(r)中抽取Ｎ个子样r1，r2，…，rN，），将相应的Ｎ个随机变量的值g(r1)，g(r2)，…，g(rN)的算术平均值 作为积分的估计值（近似值）。 ; 为了得到具有一定精确度的近似解，所需试验的次数是很多的，通过人工方法作大量的试验相当困难，甚至是不可能的。因此，蒙特卡罗方法的基本思想虽然早已被人们提出，却很少被使用。本世纪四十年代以来，由于电子计算机的出现，使得人们可以通过电子计算机来模拟随机试验过程，把巨大数目的随机试验交由计算机完成，使得蒙特卡罗方法得以广泛地应用，在现代化的科学技术中发挥应有的作用。 ;计算机模拟试验过程 ;例１．蒲丰氏问题; 如何产生任意的（x,θ）？x在［0，a］上任意取值，表示x在［0，a］上是均匀分布的，其分布密度函数为： 类似地，θ的分布密度函数为： 因此，产生任意的（x,θ）的过程就变成了由f1(x)抽样x及由f2(θ)抽样θ的过程了。由此得到： 其中ξ1，ξ2均为（0,1）上均匀分布的随机变量。 ; 每次投针试验，实际上变成在计算机上从两个均匀分布的随机变量中抽样得到（x,θ），然后定义描述针与平行线相交状况的随机变量s(x,θ)，为 如果投针Ｎ次，则 是针与平行线相交概率Ｐ的估计值。事实上??? 于是有 ;例２．射击问题 ;蒙特卡罗方法的收敛性，误差 ;收敛性 ;误差 ; 当N充分大时，有如下的近似式 其中α称为置信度，1－α称为置信水平。 这表明，不等式 近似地以概率 1－α成立，且误差收敛速度的阶为 。 通常，蒙特卡罗方法的误差ε定义为 上式中 与置信度α是一一对应的，根据问题的要求确定出置信水平后，查标准正态分布表，就可以确定出 。; 下面给出几个常用的α与的数值： ? 关于蒙特卡罗方法的误差需说明两点：第一，蒙特卡罗方法的误差为概率误差，这与其他数值计算方法是有区别的。第二，误差中的均方差σ是未知的，必须使用其估计值 来代替，在计算所求量的同时，可计算出 。 ;减小方差的各种技巧 ;效率 ;蒙特卡罗方法的特点;能够比较逼真地描述具有随机性质的事物的特点及物理实验过程;受几何条件限制小;收敛速度与问题的维数无关;具有同时计算多个方案与多个未知量的能力;误差容易确定;程序结构简单，易于实现;收敛速度慢;误差具有概率性;在粒子输运问题中，计算结果与系统大小有关;蒙特卡罗方法的主要应用范围 ;作 业