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一类含有分数阶导数的参数激励振动问题 葛志新1 , 陈咸奖2 (1.安徽工业大学 数理学院, 安徽马鞍山 243002; 2.安徽工业大学 商学院, 安徽马鞍山 243002) 摘 要: 研究了一类具有分数阶导数阻尼的参数激励振动问题. 首先对含有 由 Riemann-Liouville定义的分数阶导数的Mathieu振动方程构造渐近解,利用 多重尺度法,在激励参数取不同值的情况下,求得渐近解, 得到分数阶指数对解 的影响. 关键词: 多重尺度; 分数阶导数; 参数激励; 过渡曲线 中图分类号: O175.14 文献标识码: A 文章编号: 1 引言 振动现象是生活中常见的现象,也是学术界研究的热点话题[1]?[11],如Nayfeh 在[1]中讨论 的自由振动、 非齐次项激励和参数激励下的各种受迫振动问题的渐近解及共振情况, 刘灿 昌等在[2]中讨论的参数激励非线性振动时滞反馈最优化控制振动问题的稳定性等.他们讨论 的问题的导数都用整数阶导数描述. 随着数学的发展,分数阶导数逐渐进入学者们的视野,学 者们发现分数阶导数更能准确描述记忆性材料的导数特性.学者们开始研究具有分数阶导 数阻尼的振动情况[3]?[11], 如[6]-[11]是研究非齐次项激励的振动问题.学者们对用分数阶导数 描述外阻尼的参数激励的振动问题研究较少[3,4,5],且在[3,4,5]中使用谐波平衡法对分数阶阻 尼Mathieu方程进行研究的. 本文将在[1] ? [15]的基础上研究含有参数激励的分数阶导数振 动问题,对用分数阶导数来描述阻尼的Mathieu方程的解用多重尺度法求得渐近解,并研究分 数阶导数对解的影响. 考虑 d2u dαu dt2 + (δ + ε cos nt)u + ε dtα = 0, (1) 其中δ是激励参数, 0 ε ? 1, 0 α 1, n 是大于1的正整数. 2 2 第一种情况: √δ 不接近于 n 引入多重尺度 T0 = t, T1 = εt, 则 d  ?收稿日期 XXXX-XX-XX dt = D0 + εD1 + · · · , (2) 基金项目 国家自然科学基金 第一作者 葛志新, 女, 硕士, 实验师, 1970年10月生,邮箱:  HYPERLINK mailto:gezhixin@ \h gezhixin@ 通信作者 陈咸奖, 男, 硕士, 副教授,  HYPERLINK mailto:chenxianjiang@ \h 1970年7月生,邮箱:c HYPERLINK mailto:henxianjiang@ \h henxianjiang@ 1  d2 2 ?T 其中 Dn = ? . n dt2 = D0 + 2εD0D1 + · · · , (3) 设 u(t) = u0(T0, T1) + εu1(T0, T1) + · · · . (4) 我们把 (2)-(4) 代入到 (1) 中, 得 (D2 + 2εD0D1)(u0(T0, T1) + εu1(T0, T1) + · · · ) + ε RDα(u0(T0, T1) + εu1(T0, T1) + · · · )+ 0 0 (δ + ε cos nt)(u0(T0, T1) + εu1(T0, T1) + · · · ) = 0. (5) 令式 (5) 中 ε 同次幂相等, 得 D2 0 u0 + δu0 = 0, D2 R α 所以 其中 ω = √δ . 0 u1 + δu1 + 2D0D1u0 +0 DT0 u0 + u0 cos nt = 0. u0 = A(T1)eiωT0 + Aˉ(T1)e?iωT0 , 利用分数阶倒数 Riemann-Liouville 定义及性质 [4], 我们可得 R α 1 ∫ T0 d ?α 0 0 0 DT0 u0 = Γ(1 ? α) dT (t ? τ ) u0(τ )dτ πα = ωαA(T1)ei(ωT0+ 2 ) + cc. π 这里cc是其前面项的共轭复数项.又 ?T 这里 A˙ = ?A . 且 1 D0D1u0 = ωA˙ (T1)ei( 2 +ωT0) + cc, 1 u0 cos nt = 2 A(T1)e 这里cos nt = cos nT0. 所以  i(ωT0+nT0) 1 + A(T1)e 2  i(ωT0?nT0)  + cc,  D2 2 α i(ωT0+ πα ) ˙ π 0 2 2 0 u1 + ω u1 = ?[ω 1 A(T1)e 1 + 2ωA(T1)ei( +ωT )