128个数学问题汇编讲义.doc

费尔玛猜想　　法国数学家费尔玛对数学的贡献涉及各个领域。他与笛卡儿一起奠定了解析几何的基础；他和帕斯卡一起奠定了概率论的基础；他从几何角度，第一次给出了求函数极值的法则……但使他名垂千古、载入史册的还他所提出的费尔玛猜想，也被称为费尔玛大定理。　　费尔玛在丢番图的《算术学》的书页边上写道：　　任何一个数的立方不能分解为两个立方之和，任何一个有选举权的四次方不能分解为两个四次方之和；更一般的，除二次幂外，两个数的任何次幂的和都不可能等于第三人矍有同次幂的数。我已经找到了这个断语的绝妙证明，但是，这书的页边太窄，不容我把证明写出来。　　费尔玛的这段笔记，用数学语言来表达，就是形如Xn+yn=zn的方程，当n大于2时，不可能有正整数解。　　遗憾的是，人们找遍了他的文稿和笔记，都搜寻不到这个绝??的证明。　　费尔玛的证明是什么样的？谁也不清楚。他是否真的给出过证明也值得怀疑。不过，他用无穷递降的方法证明了N=的情形。　　后来，欧拉也沿用此方法证明了n=3,4时，x?n+y?n=z?n无整数解。　　19世纪有不少数学家对这个问题感兴进取，勒让德与克雷同时证明了n=5时的费尔玛大定理；拉梅证明了n=7时的情形，后来德国数学家库默尔反n推进到了100。　　20世纪随着电子计算机的飞速发展和广泛应用，到1978年，已经证明了当n12500的素数以及它们的倍数时，猜想都成立。　　在300多年中，人们希望能找到它的一般证明，但又苦于无法；企图否定，又举不出反例。　　1850年及锘53年，法国科学院曾两次以2000法郎的奖金悬赏，但都没有收到正确答案。　　1900年，德国数学家希尔伯特认为费尔玛大定理是当时最难的23个数学问题之一。　　1908年，德国哥庭根科学院按照德国数学家俄尔夫斯开耳的遗嘱，把他的10万马克作为费尔玛大定理的证明奖金，向全世界征求解答，期限为100年，直到公元2007年仍有效。　　可见，费尔玛确引起了不同寻常的反响。就定理本身而言，是一个中学生都能搞懂的问题。因此，不光是数学家、数学工作者，还有工程师、职员、政府官员都投身到了费尔玛猜想的证明当中，证明的热潮十分高涨。　　第一次世界大战的爆发，才使证明趋于冷落。　　费尔玛猜想虽然还没有最终获得证明，甚至还有人认为他是一道死题。但是在证明费尔玛猜想的过程中，数学家们发现了许多新的概念、定理和。　　费遁辞玛仅凭少数事例而产生天才的猜想，推动了数学的发展。理想数论这一崭新的数学分支，正是在这种探索中建立的。　　对费尔玛猜想的大规模探索表明，企图用初等数学证明它，大概是不可能的，就像解决古希腊三大难题一样，恐怕要依赖新的数学方诞生！。四色猜想　　1852年，刚从伦敦大学毕业的哥斯尼在给他的兄弟弗雷赘克的一封信中提出了这样的猜想：在一幅正规地图中。凡是有共同边界结的国家，都可以最多只用四种颜色着色,就能把这些国家区别开来。　　弗雷赘克读了这封信后，就企图用数学品质方法来加证明。但是，他花了许多时间，仍是毫无头绪，他只好去请教他的教师摩尔根。但摩尔根也无法证明这个问题。同时也无法推翻，就把它交给了英国著名的数学家哈密顿。从此，这个问题在一些人中间传来似去，直到1865年哈密顿逝世为止，这个问题还没有得到解决。　　于是这个问题便以四色猜想的名字留在了近代数学史上。1878年，著名的英国数学家凯来把四色猜想通报给伦敦的数学学会会员，征求解答。　　数学界顿时活跃起来，很多人挥戈上阵，企图试一试自己的能力。　　1879年，肯普首先宣布证明了四色定理，接着在1880年，泰特也宣布证明四色定理的问题已经解决，从此就很少有人过问它了。　　然而还有一个数学家赫伍德，并没有放弃对四色问题的研究，他从表少年时代一直到成为白发苍苍的老者，花费了毕生的精力致力于四色研究，前后整整60年。终于在1890年，也就是肯普宣布证明了四色定理的11年之后，赫伍德发表文章，指出了肯普证明中的错误，不过，赫伍德却成功地运用肯普的方法证明了五色定理，即一张地图一公平能用和种颜色正确地染色。　　五色定理被证明了。但四色定理却又回到未被证明的四色猜想的地位了，这不仅由于赫伍德推翻了肯普的证明，而且离开泰特发表论文66年后的1946年，加拿大数学家托特又举出反例，否定了泰特的证明。　　肯普的证明，虽然在11年后被推翻了，但是，人们认为他的证明思路有很多可取的地方。因此，数学家，有不少人一直在沿着他的思路，推进着四色问题的证明工作，并且有了新的进展。然而，这些成就所提供的检验办法太复杂了，人们难以实现。就拿1970年有些人的方案来说，用当时的计算机来算也需要连续不断地工作10万小时（即11年以上），才能得出结论，这显然是不可能的。　　1970年以后，人们千方百计地改进