东北大学机械学院机械振动理论及应用课程PPT第二章选编.ppt

式中ym为中点挠度。 根据材料力学有 设?为梁单位长度的质量，整个梁的动能为 可见梁的等效质量为 因为是简谐振动，设 则 系统的最大总动能为 梁的最大弹性势能仍为 由Tmax=Umax，得 得 下面证明一个等截面悬臂梁(见图2.3-3)在自由端的等效质量为 。假定梁自由振动时的振动形式和悬臂梁在自由端加一集中静载荷时的静挠度曲线一样。 由材料力学知，在 梁端静载荷P的作用下， 悬臂梁自由端的挠度为 ，截面x处的挠 度为 。 图 2.3-3 假定在自由振动中，梁各点的振幅仍近似的按比例，即设 其中y0为梁自由端的振幅。设质量m的自由振动可表示为 ；而梁的振动可表示为 全梁动能的最大值为 * ●任何具有质量和弹性的系统都能产生振动，若不外加激励的作用，振动系统对初始激励的响应，通常称为自由振动。 ●保守系统在自由振动过程中，由于总机械能守恒，动能和势能相互转换而维持等幅振动，称为无阻尼自由振动。 ●实际系统不可避免存在阻尼因素，由于机械能的耗散，使自由振动不能维持等幅而趋于衰减，称为阻尼自由振动。 第二章 单自由度系统的自由振动 最简单的单自由度振动系统就是一个弹簧连接一个质量的系统，如图2.1-1所示的弹簧-质量系统。 弹簧-质量系统有一个共同的特点：当受扰动离开平衡位置后，在恢复力作用下系统趋于回到平衡位置，但是由惯性它们会超越平衡点。超越后，恢复力再次作用使系统回到平衡位置。结果系统就来回振动起来。 2.1 简谐振动 图 2.1-1 (2.1-1) 设在某一瞬时t，物体的位移为x，则弹簧作用于物体的力为-kx，以 和 分别表示物体的速度与加速度。由牛顿定律，有 根据常微分方程理论，式(2.1-3)的解具有下面的一般形式 式中A1和A2是取决于初始条件 t=0, , 的积分常数。 (2.1-4) 这里 为系统的固有频率。 令 (2.1-2) (2.1-3) 这是二阶常系数线性齐次常微分方程。 方程(2.1-1)改写为 设 ① 或 ② (2.1-5) (2.1-6) 得 ① 或 ② 式中常数A和?(?=?/2-?)分别称为振幅和相角。方程(2.1-7)说明该系统以固有频率?n作简谐振动。 解为 ① ② (2.1-7) 或 凡是系统响应可以用时间的正弦函数(或余弦函数)表示的振动。 简谐振动： 矢量A与垂直轴x的夹角为?nt-?，A在x轴上的投影就表示解x(t)=Acos(?nt-?) 。当?nt-?角随时间增大时，意味着矢量A以角速度?n按逆时针方向转动，其投影成谐波变化。 图 2.1-2 振动重复一次所需要的时间间隔。 振动周期T： 在简谐振动的情况下，每经过一个周期，相位就增加2?，因此 [?n(t+T)+?]-(?nt+?)=2? 故有 (2.1-9) 实际上T代表发生一次完整运动所需要的时间，周期通常以秒(s)计。 在单位秒时间内振动重复的次数。 振动频率f： (2.1-10) 频率的单位为次/秒，称为赫兹(Hz)。 设在初瞬时t=0，物体有初位移 与初速度 ，则代入式(2.1-4)及其一阶导数，振动系统对初始条件 的响应为 (2.1-10) 比较方程(2.1-4)和(2.1-10)，并利用方程(2.1-6)可以得到振幅A和相角?的值。 (2.1-11) 或② ① 现在来看由弹簧悬挂的物体(图2.1-3)沿铅直方向的振动。 当振动系统为静平衡时弹簧在重力mg的作用下将有静伸长 (2.1-12) 在重力与弹簧力的作用下，物体的运动微分方程为 (2.1-13) 因为mg=k?s，上式仍可简化为 图 2.1-3 从弹簧的静变形可以方便的计算出振动系统的固有频率。 (2.1-14) 例2.1-1 均匀悬臂梁长为l，弯曲刚度为EJ，重量不计，自由端附有重为P=mg的物体，如图2.1-4所示。试写出物体的振动微分方程，并求出频率。 解：由材料力学知，在物体重力作用下，梁的自由端将有静挠度 则频率为 图 2.1-4 这里，悬臂梁起着弹簧的作用，自由端产生单位静变形所需要的力就是梁的弹簧系数 物体梁端的振动微分方程为 即 则频率为 例2.1-2 可绕水平轴转动的细长杆，下端附有重锤(直杆的重量和锤的体积都可以不计)，组成单摆，亦称数学摆。杆长为