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同济第3版-高数-(5.3) 第三节 定积分换元法和分部积分法
中国药科大学 数学教研室 杨访;; 若 f( x )有原函数 F( x ),?( x )可微,则有不定积
分凑微分法则
∫ f[?( x )]? ?( x )d x = ∫ f[?( x )]d ?( x )
= ∫ d F[?( x )]= F[?( x )]+ C .
由牛顿 — 莱布尼兹公式,这一法则也可转换为定
积分的凑微分法则,即有;(3) 第二换元法则的转换 ; ,即 x = ?( t )= t 2 -1,d x = 2t dt,于是
从而由牛顿-莱布尼兹公式有 ; 不定积分计算目的在于求原函数,当积分变量改
变后,原函数形式也相应发生改变。为求得对应于给
定积分变量的原函数形式,用第二换元法求不定积分
需作原变量回代,而原变量回代涉及代换函数 x = ?( t )
的反函数计算,故第二换元法一般计算比较繁杂。
定积分计算的目的在于求值,积分变量的改变对
定积分计算并不显得特别重要。因为当积分变量改变
后,其相应的变化范围也随之改变,因此只要能确定
新变量相应的变化范围,就可直接求出定积分的值,
这样可不必进行原变量回代并简化积分计算。; 对本例,当 x : 0 ~ 3 时,
而此时有:
故有; 假定函数 f( x )在区间[ a ,b]上连续,函数 x = ?( t )
满足条件
(1) ?( ? )= a,?( ? )= b ;
(2) ?( t )在[ ? ,? ]( 或[ ? ,? ])上具有连续导数,且其
值域 R? ?[ a ,b],则有 ; 由条件知,等式两边的被积函数在各自的积分区间
上都是连续的,因此两边的原函数及定积分均存在。
设 f( x )的原函数为 F( x ),则由牛顿 - 莱布尼兹
公式有
考虑 f[?( x )]? ?( x )的原函数。记 ?( t )= F[?( t )],
则 ?( t )是由 F( x )和 x = ?( t )的复合函数。因此有
即 ?( t )= F[?( t )]是 f [?( t )]? ?( t )的一个原函数。; 由条件 ?( ? )= a ,?( ? )= b 有
因此有; 定积分分部积分法与不定积分分部积分法相对应,
是基于不定积分的分部积分法及牛顿 — 莱布尼兹公式
而建立的一种定积分运算法则。
定积分分部积分法和凑
微分法运算相结合可将形如
的不易积出的积分转
化为另一种形式的积分
进行计算。; 设有连续可导函数 u = u( x )、v = v( x ),由乘积求
法则可得 u( x )· v ?( x )=[ u( x )· v( x )]? - u ?( x )· v( x ).
将上式看作函数等式,等式两边都是区间[ a ,b]上
的连续函数,故两边在[ a ,b]上求定积分有
由牛顿 — 莱布尼兹公式
因为 v ?( x )d x = d v,u ?( x )d x = d u,故有;例:求积分
含对数函数的积分,不宜直接积分。考虑通过
分部积分消去对数因子,再设法计算积分。; 将积分重现项移至等式左端解得 ;例:设 f( x )为连续函数,证明:
这是个积分恒等式的证明问题。由于所证式子
两边形式相近,可考虑等式两边的积分互化。;右化为左 ;;定积分
无法求出;(1) 利用被积函数的奇偶性简化定积分计算 ;对称区间上偶函数的积分 ; 为比较两部分积分,考虑将它们化为同一区间上
的积分考察。
对第一个积分作代换 x = - t ,当 x :- a ? 0 时,t : a ? 0,
从而有;① 若 f( x )为[-a ,a ]上的偶函数,
即 f( -x )= f( x ),则
② 若 f( x )为[-a ,a]上的奇函数,
即 f( -x )= - f( x ),则
本题结果对定积分计算有重要作用,即若给定积分
区间是对称区间,应注意考察被积函数的奇偶性。;例:求积分
给定积分区间为对称区间,宜考虑利用对称区间上
积分的性质简化计算。由于被积函数为偶函数,故有
为体会利用对称性对积分计算的简化,考察直接计
算此积分的过程:;
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