同济第三版-高数-(1.1) 第一节 函数同济第三版-高数-.ppt

第一章 函数与极限;中国药科大学 数学教研室 杨访; 集合是数学中最基本的概念之一，所谓最基本概 念就是不能由其它概念来定义，只能通过常识来描述。 指定的具有“某种属性”的有限多个或无限多个一 类事物的全体称为一个集合，构成集合的每一个事物称 为该集合的一个元素。 若事物 a 是集合 M 的一个元素，记作 a ? M，若事 物 a 不是集合 M 的元素，则记作 a ? M．; 具有“某种属性”，简单地讲，就是能给定一条 规则以区分集合中的元素，即任意给出一个事物，根 据这个条规则能确定该事物是否属于这一集合。; 由有限个元素组成的集合称为有限集，由无穷多个 元素组成的集合称为无限集。 表示集合的方法通常有两种： 列出集合中所有元素，其形式为 A ={ A中的所有元素 }. 列出集合中元素的属性，其形式为 M ={ x? x 所具有的特征 }. ; 设有集合 A、B，若对 ?a ? A，都有a ? B，则称 A 是 B 的子集，记作：A ? B . 不含任何元素的集合称为空集，记作:? ． 空集可认为是任何集合的子集。; 设有集合 A、B，若有 A ? B ，且 B ? A，则称 A、 B 相等，记作：A = B ． 例如，若 A ={ 1 ,2 }，B ={ x? x 2 - 3x + 2 = 0 }， 则有 A = B . 两集合相等的意义就是彼此相互包含，这一定义实 际也给出了集合相等 的证明方法，即证明 两集合相等就是证明 它们相互包含。; 设有集合 A、B，由至少属于 A、B 中一个的元素 的全体所构成的集合称为集合 A、B 併，记作: A∪B . 即有 A∪B ={ x? x ? A 或 x ? B }.; 设有集合 A、B，由同时属于 A、B 的元素的全体 所构成的集合称为集合 A、B 交，记作: A∩B . 即有 A∩B ={ x? x ? A 且 x ? B }.; 区间是一类特殊的数集，它通常用来表示连续型变 量的变化范围。区间可分为两类，一类是有限区间，另 一类是无穷区间。 设 a ,b ? R，且 a b，则数集{ x ? a x b }称为 开区间，记作:( a ,b )，即( a ,b )={ x ? a x b }. ; 设 a ,b ? R，且 a b，则数集 { x ? a ? x ? b }称为闭 区间，记作:[ a ,b ]，即[ a ,b ]={ x ? a ? x ? b }. 由开区间和闭区间的概念容易理解，下列数集均称 为半开半闭区间： ( a ,b ] ={ x ? a x ? b }，[ a ,b )={ x ? a ? x b }. 数 b - a 称为上述这些区间的长度，长度为有限值 的区间称为有限区间。上述这些区间的长度均为有限 数，故均是有限区间。; 长度为无穷大的区间称为无穷区间。 下列数集均为无穷区间： ( a ,+ ? )={ x ?a x }， [ a ,+ ? )={ x ?a ? x }； ( - ? ,b )={ x? x b }， ( - ? ,b ] ={ x ?x ? b }.; 邻域是一类特殊的区间，它在数轴上表示以一点为 中心，以某正数为半径的点的全体。邻域可分为两类， 一类是实心邻域，另一类是空心邻域。 设 a ,? 是两个实数，? 0 ，数集{ x?? x - a? ? } 称为点 a 的 ? 邻域，记作:U( a ,? )，即 U( a ,? )={ x? ? x - a? ? }=( a - ? ,a - ? ).; 在点 a 的 ? 邻域中去掉中心点 a 后所得点集，称为 点 a 的 ? 空心邻域，记作: 函数在一点的性状不仅和该点的函 数值有关，还和函数在该点邻近点处的 函数值有关。 邻域的重要性就在于用以讨论函数 在一点的性状与其邻近点处性状的关系。;(1) 函数关系举例 ;例：某一天的气温和时间的关系是一种函数关系。 在此问题中包含两个变量：气温 C ，时间 t . 两变量在各自的变化范围内变化，变化时彼此间既相互 联系又相互依存，因而气温 C 和时间 t 构成函数关系。;例：我国 GDP 总值与年份的关系构成函数关系。