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概率論与数理统计期末必备复习资料
事件间的关系 包含关系:事件A发生必然导致B发生,记为 相等关系: ,记为A=B。 积事件:事件A与B同时发生,记为AB。 和事件:事件A或B至少有一个发生,记为 差事件:事件A发生而B不发生,记为A-B。 互斥事件:事件A、B不能同时发生,即 ,又称A、B为互不相容事件。 逆事件:“A不发生”这一事件称为A的逆事件,记为 ,A与 又称为对立事件。 事件的运算律 交换律: 结合律: 分配律: 对偶律(De Morgan德摩根律): 减法: 概率:做n次重复试验,事件A发生的次数记为 ,当n很大时,若频率 稳定在常数P附近,则称P为随机事件A发生的概率,记作P(A)=P。 概率的公理化定义:设E是随机试验,S是样本空间,对E的每个随机事件A,赋予一个实数P(A),若它满足: 非负性: 规范性: ,S为样本空间(必然事件) 可列可加性:若事件 中 则 则称P(A)为事件A的发生概率。 概率的性质 有限可加性:有限个两两互斥的事件 则 是A的对立事件,则 则 一 ,当A,B互斥即 时 推广: 预备知识:排列、组合 分类计数原理(加法原理):设完成一件事有k类方法,每类分别有 种方法,则完成这件事情共有 种方法. 分步计数原理(乘法原理):设完成一件事有k个步骤,第一步有 种方法,…,第k步有 种方法,则完成这件事情共有 种方法. 排列:从n个不同元素中取出m个元素,按一定次序排成一列. 排列数:从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数记为 注: 组合:从n个不同元素中取出m个元素并成一组(与顺序无关). 组合数:从n个不同元素中取出m个元素的所有组合的个数,记为 等可能概型(古典概型) 定义:具有以下性质的随机试验称为等可能概型 试验的样本空间的元素只有有限个 试验中每个基本事件发生的可能性相同 等可能概型中事件概率的计算公式: n为随机试验的总的结果数,即样本点的总数,k为事件A包含的结果数。 条件概率 定义:事件A已发生的条件下事件B发生的概率,称为条件概率,记为P(B|A)。 例 将一枚硬币抛掷两次,观察其出现正面的情况,设A={至少有一次为正面H},B={两次掷出同一面},求P(B|A) 解:样本空间S={HH,HT,TH,TT},A={HH,HT,TH}, B={HH,TT}。则可得: P(B|A)=1/3 条件概率的计算公式: 乘法定理:设P(A)0,则有P(AB)=P(B|A)P(A) 推广:P(AB)0,则有P(ABC)=P(C|AB)P(AB) = P(C|AB) P(B|A)P(A) 设 为n个事件 ,且 全概率公式 划分:设S为试验E的样本空间, 为E的一组事件,若 则称 为样本空间S的一个划分. 例 E:掷骰子观察点数 是S的一个划分 不是S的一个划分 全概率公式 定理:设随机试验E的样本空间为S,A为E的事件. 为S的一个划分,且 则 ,称之为全概率公式。 注:全概率公式给出我们一个用来计算在众多原因 的作用下事件A发生概率的方法. (由因得果) 贝叶斯公式(由果溯因) 设E的样本空间为S,A为E的事件. 为S的一个划分,且 ,则 为贝叶斯(Bayes)公式. 称 为先验概率; 称 为后验概率. 独立性 独立事件:两事件A、B,A发生对B发生没有影响,B发生也对A没有影响,则称两事件相互独立.即P(A|B)=P(A)且P(B|A)=P(B),则P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B) 例 抛甲,乙两枚硬币,A={甲出现正面H},B={乙出现正面H},问A,B同时发生的概率. 定理 四对事件 中有一对相互独立,则另外三对也相互独立. 独立与
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