多项式回归、非线性回归模型.docx

 PAGE \* MERGEFORMAT 6 多项式回归、非线性回归模型 关键词：回归方程的统计检验、拟合优度检验、回归方程的显著性检验、F检验、回归系数的显著性检验、残差分析、一元多项式回归模型、一元非线性回归模型 回归方程的统计检验 1. 拟合优度检验 概念介绍 SST总离差平方和total SSR回归平方和regression SSE剩余平方和error 例题1 存在四点(-2,-3)、(-1,-1)、(1,2)、(4,3)求拟合直线与决定系数。 2. 回归方程的显著性检验 例6（F检验） 在合金钢强度的例1中，我们已求出了回归方程，这里考虑关于回归方程的显著性检验，经计算有： 表5 X射线照射次数与残留细菌数的方差分析表 来源平方和自由度均方比值回归184.940.0000残差总计 这里值很小，因此，在显著性水平0.01下回归方程是显著的。 3. 回归系数的显著性检验 4. 残差分析 一元多项式回归模型 模型如以下形式的称为一元多项式回归模型： 例1（多项式回归模型） 为了分析X射线的杀菌作用，用200千伏的X射线来照射细菌，每次照射6分钟，用平板计数法估计尚存活的细菌数。照射次数记为，照射后的细菌数为见表1。试求： （1）给出与的二次回归模型。 （2）在同一坐标系内作出原始数据与拟合结果的散点图。 （3）预测时残留的细菌数。 （4）根据问题的实际意义，你认为选择多项式函数是否合适？ 表1 X射线照射次数与残留细菌数 1234567891011121314153522111971601421061046056383632211915 程序1 t=1:15; y=[352 211 197 160 142 106 104 60 56 38 36 32 21 19 15]; p=polyfit(t,y,2)%作二次多项式回归 y1=polyval(p,t);%模型估计与作图 plot(t,y,-*,t,y1,-o);%在同一坐标系中做出两个图形 legend(原始数据,二次函数) xlabel(t(照射次数))%横坐标名 ylabel(y(残留细菌数))%纵坐标名 t0=16; yc1=polyconf(p,t0)%预测t0=16时残留的细菌数，方法1 yc2=polyval(p,t0)%预测t0=16时残留的细菌数，方法2 即二次回归模型为： 图1 原始数据与拟合效果的散点图 原始数据与拟合结果的散点图如图所示，从图形可知拟合效果较好。照射16次后，用二次函数计算出细菌残留数为39.0396，显然与实际不符。由实际问题的意义可知，尽管二次多项式拟合效果较好，但是用于预测并不理想。因此如何根据原始数据散点图的规律，选择适当的回归曲线是非常重要的，这样就有必要给出非线性回归模型。 一元非线性回归模型 为了便于正确选择合适的函数进行回归分析建模，我们给出通常选择的6类曲线： （1）双曲线（如图所示） （2）幂函数曲线，其中，（如图所示） （3）指数曲线，其中参数（如图所示） （4）倒指数曲线，其中（如图所示） （5）对数曲线（如图所示） （6）型曲线，其中（如图所示） 非线性回归建模通常有两种方法：一是通过适当的变换转化为线性回归模型，例如双曲线模型（如图1所示），如果作变换，则有，此时就是线性回归模型。如果无法实现线性化，可以利用最小二乘法直接建立非线性回归模型，求解最佳参数。 例2（非线性回归模型、置信区间） 炼钢厂出钢时所用盛钢水的钢包，由于钢水对耐火材料的侵蚀，容积不断增大，我们希望找出使用次数与增大容积之间的函数关系。实验数据见表2。 （1）建立非线性回归模型； （2）预测钢包使用次后增大的容积； （3）计算回归模型参数的置信度为95%的置信区间。 表2 钢包使用次数与增大容积 使用次数（x）2345678910111213141516增大容积（y）6.428.29.589.59.7109.939.9910.4910.5910.610.810.610.910.76 解：（1）建立非线性回归模型： 程序2 x=[2:16]; y= [6.42 8.2 9.58 9.5 9.7 10 9.93 9.99 10.49 10.59 10.6 10.8 10.6 10.9 10.76]; %建立非线性双曲线回归模型 b0=[0.084,0.1436];%回归系数初值 fun=inline(x./(b(1)*x+b(2)),b,x);%建立函数 [beta,r,J]=nlinfit(x,y,fun,b0);%非线性拟合命令；其中，b