正弦函数余弦函数的单调性奇偶性最值讲解.ppt

思悟升华 基础达标 创新题型 版块导航 人教A版必修四·新课标·数学 第2课时 正弦函数、余弦函数的 奇偶性、单调性与最值 目标定位 点此进入 点此进入 点此进入 知识预览 自测自评 版块导航 人教A版必修四·新课标·数学 目 标 要 求1.掌握正弦函数、余弦函数的性质并能灵活应用． 2．通过正弦、余弦函数的图象来理解正弦、余弦函数的性质，培养数形结合的能力.热 点 提 示1.三角函数的奇偶性、最值、单调区间、三角函数大小的比较等，能结合图象的一定要联系图象进行综合思考，将数与形有机结合起来． 2．讨论对称问题时要注意最值点、平衡点及周期的必然联系，形成思维网络． 3．讨论三角函数的所有性质都要在其定义域内进行. 1．正、余弦函数的奇偶性 正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数． 2．正、余弦函数的单调性 正弦函数y＝sinx(xR)在(kZ)上是增函数，在(kZ)上是减函数；余弦函数y＝cosx(xR)在[2kπ，2kπ＋π](kZ)上是减函数，在[2kπ＋π，2kπ＋2π](kZ)上是增函数． ●想一想：y＝sin(－x)在[0，]上是单调递增函数吗？ 提示：由于y＝sin(－x)与y＝sinx两函数的图象关于y轴对称，且y＝sinx在[－，0]上是单调递增函数，结合函数的对称性易知y＝sin(－x)在区间[0，]上是单调递减函数． 3．正、余弦函数的最值 正弦函数y＝sinx(xR)，当x＝2kπ＋，kZ时，y最大＝1，当x＝2kπ－，kZ时，y最小＝－1； 余弦函数y＝cosx(xR)，当x＝2kπ，kZ时，y最大＝1，当x＝2kπ＋π，kZ时，y最小＝－1. ●想一想：函数y＝sinx，x[－，]的最大值是1吗？ 提示：不是．最大值是sin＝. 1．函数y＝1－cosx的图象关于(　　) A．x轴对称　　B．y轴对称 C．原点对称 D．直线x＝对称 解析：函数y＝1－cosx是偶函数，其图象关于y轴对称． 答案：B 2．函数f(x)＝cos4x，xR是(　　) A．最小正周期为π的偶函数 B．最小正周期为π的奇函数 C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的奇函数 解析：T＝＝＝，f(－x)＝cos(－4x)＝cos4x＝f(x)，即f(x)是偶函数． 答案：C 3．函数y＝2cosx－1的单调递减区间是________． 解析：函数的定义域是R，设y＝2u－1，u＝cosx，由于函数y＝2u－1是增函数，则函数y＝2cosx－1的单调递减区间是函数u＝cosx的单调递减区间． 答案：[2kπ，2kπ＋π](kZ) 4．函数y＝－2sinx＋10取最小值时，自变量x的集合是________． 解析：函数的定义域是R，设y＝－2u＋10，u＝sinx，则－1≤u≤1.又函数y＝－2u＋10是减函数，则当u＝1时，函数y＝－2sinx＋10取最小值，此时x＝2kπ＋，kZ. 答案：{x|x＝2kπ＋，kZ} 5．求函数y＝sinx，x[，π]的最大值和最小值． 解：函数y＝sinx在区间[，]上是增函数，在区间[，π]上是减函数， 所以函数y＝sinx在区间[，]上的最大值是sin＝1，最小值是sin＝， 函数y＝sinx在区间[，π]上的最大值是sin＝1，最小值是sinπ＝0. 所以函数y＝sinx，x[，π]的最大值是1，最小值是0. 　　正弦函数、余弦函数的奇偶性 【例1】　若函数y＝sin(x＋φ)(0≤φ≤π)是R上的偶函数，则φ等于(　　) A．0　　　　B. C. D．π 思路分析：将备选值代入检验可得答案，也可依据偶函数的图象关于y轴对称得到x＋φ满足的条件，调节k值找出符合题意的φ值． 解法一：由于y＝sin(x＋)＝cosx，而y＝cosx是R上的偶函数，因此φ＝. 解法二：函数y＝sinx的对称轴为：x＝＋kπ，kZ， 函数y＝sin(x＋φ)图象的对称轴应满足x＋φ＝＋kπ. 又y＝sin(x＋φ)是偶函数， x＝0是函数图象的一条对称轴， φ＝＋kπ，kZ，当k＝0时，φ＝. 答案：C 1．判断一个函数y＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)或y＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为y＝Asinωx(Aω≠0)或y＝Acosωx(Aω≠0)其中的一个． 2．利用三角函数的奇偶性求参数时，可以用定义解决，也可以利用三角函数的对称性解决，偶函数考虑对称轴与y轴的关系，奇函数考虑对称中心与原点的关系． 1.已知函数y＝sin(x＋＋φ)是奇函数，则φ的一个取值为(　　) A．0　　　B．－ C. D．π 解析：y＝sin(x＋＋φ)为奇函数，则只需＋φ＝kπ，kZ，从而φ＝kπ－，kZ，显然当k＝0时，φ＝－，