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大 学 文 科 数 学 目录 前言 第一章 微积分的基础和研究对象 §1 极限、实数与集合在微积分中的作用 §2 微积分的研究对象－函数 第二章 微积分的直接基础——极限 §1 从阿基里斯追赶乌龟谈起——数列极限 §2 函数极限 §3 极限应用的一个例子——连续函数 数学发展的五个时期 数学的萌芽时期 初等数学时期 变量数学时期 近代数学时期 现代数学时期 数学的萌芽时期（至公元前六、五世纪） 大约在三百万年前，人类还处于茹毛饮血的原始时代，以采集野果，围猎野兽为生. 在集体劳动和“平均”分配的体制下，他们学会了在捕获一头猎物后用一块石子、一根木头来代表……如此等等. 后来，人类在日常生活和生产实践中渐渐产生了计数的意识，并摸索出了多种计数方法，开始了结绳计数，掷石数羊和土地测量. 这也就是数学的源起. 巴比伦，古埃及，古印度 初等数学时期 古希腊数学（公元前6世纪至公元6世纪） （公元前6世纪至公元17世纪） 第一个时期：从伊奥尼亚学派到柏拉图学派为止，约为公元前七世纪中叶到公元前三世纪 伊奥尼亚学派（泰勒斯，几何论证之父） 开始了命题的证明，它标志着人们对客观事物的认识从感性上升到理性，这在数学史上是一个不寻常的飞跃. 毕达哥拉斯学派 “万物皆数”，勾股定理 柏拉图学派 “不懂几何者不得入内．” 重视数学的严谨性，在教学中，坚持准确地定义数学概念，强调清晰地阐述逻辑证明，系统地运用分析方法和推理方法. 第一次数学危机 希帕索斯， 的发现 否定了毕达哥拉斯学派的信条 直觉和经验不一定靠得住，而推理证明才是可靠的. 从此希腊人开始由“自明的”公理出发，经过演绎推理，并由此建立几何学体系，这不能不说是数学思想上一次巨大革命，这也是第一次数学危机的自然产物. 第一次数学危机的产物—古典逻辑与欧氏几何学 第一章 微积分的基础和研究对象 进入封建时代后，数学的发展经历了一个黑暗的时期. 直到欧洲文艺复兴，数学重新进入了一个伟大的时代！ §1 微积分的基础－集合、实数和极限 1.1 从牛顿的流数法和第二次数学危机谈起 （1）微积分的建立 进入17世纪，科技发展给数学提出了四类问题： 瞬时速度问题； 曲线的切线； 函数极值问题； 求积问题(曲线长度、图形面积等)。 b. 英国数学家牛顿（Newton,1642---1727）和德国数学家莱布尼兹(Leibniz,1646---1716)分别独立地建立了微积分。 牛顿 莱布尼茨 c.牛顿、莱布尼茨对微积分的主要贡献 澄清概念——特别是建立导数（变化率）的概念； 提炼方法——从解决具体问题的方法中提炼、创立出普遍适用的微积分方法； 改变形式——把概念与方法的几何形式变成解析形式，使其应用更广泛； 确定关系——确定微分和积分互为逆运算。 （2）微积分的特点 与以往的数学相比：微积分的突出特点是可以研究不断变化的事物现象 ——运动，是变量数学的标志。 （3）微积分的应用 从17世纪末到19世纪初，微积分理论被广泛而有效地应用于物理、天文等领域。 （4）微积分存在的问题 理论体系粗糙，极不严密。它的一些定理和公式在推导过程前后出现逻辑矛盾，使人们感到难以理解，这种矛盾集中体现在对“无穷小量”的理解与处理中。 第二次数学危机 无穷小量究竟是不是零？两种答案都会导致矛盾. 牛顿对它曾作过三种不同解释：1669年说它是一种常量；1671年又说它是一个趋于零的变量；1676年它被“两个正在消逝的量的最终比”所代替. 但是，他始终无法解决上述矛盾. 莱布尼兹曾试图用和无穷小量成比例的有限量的差分来代替无穷小量，但是他也没有找到从有限量过渡到无穷小量的桥梁. 英国大主教贝克莱于1734年写文章，攻击流数(导数) “是消失了的量的鬼魂”他说，用忽略高阶无穷小而消除了原有的错误， “是依靠双重的错误得到了虽然不科学却是正确的结果” . 很显然，贝克莱抓住了当时微积分、无穷小方法中一些不清楚不合逻辑的问题，尽管他是出自对科学的厌恶和对宗教的维护，而不是出自对科学的追求和探索，事实上大大地促进了数学发展. 罗尔曾说：“微积分是巧妙的谬论的汇集.”在那个勇于创造时代的初期，科学中逻辑上存在这样那样的问题，并不是个别现象. 19世纪初，法国数学家柯西建立了严格的极限理论，后来德国数学家魏尔斯特拉斯等加以完善，从而形成了严密的实数理论。由此把微积分的无矛盾性问题归结为实数系统的无矛盾问题。 （5）微积分的严密化 微积分得以严密化的基础是： 实数系统的完备性（或连续性） 对象：函数 内容：微分、积分，以及连接微分与积分的桥梁——微积分基本定理。 工具：极限 微积分研究的对象、内容及工具 函数：物质世界的基本模型 世界是物质的，物质是运动的，运动是相互联系的