运筹学汇总_small例.doc

前言：投票博弈 例1：一个董事会有4位董事，其中董事长有3票，副董事长有2票，剩余2名董事各有1票，进行投票表决。表决规则：超过半数票，讨论的提案通过。问：1）副董事长和1个董事的权力的差异？2）若表决的规则：超过2/3票提案通过。副董事长和1个董事的权力有多大的差异？ 1）解：投票人集合：N=｛1，2，3，4｝。设Si为投票人i的摆盟，i =1,2,3,4。 S 1：｛1,2｝、｛1,3｝、｛1,4｝、｛1,2,3｝、｛1,2,4｝、｛1,3,4｝ S 2 ：｛2,1｝、｛2,3,4｝ S 3 ：｛3,1｝、｛3,2,4｝ S 4 ：｛4,1｝、｛4,2,3｝ 摆盟数为：q1 = 6, q2 = 2, q3 = 2, q4 = 2. 势指标为：b1 = 1/2, b2 = b3 = b4 = 1/6（即副董事长与1个董事权力无差异）。 2）解：规则改为：达到或超过2/3时，提出的议案通过。 解：投票人集合：N=｛1,2,3,4｝。 设Si为投票人i的摆盟，i=1,2,3,4。 S1：｛1,2｝,｛1,2,3｝,｛1,2,4｝,｛1,3,4｝,｛1,2,3,4｝ S2：｛2,1｝、｛2,1,3｝、｛2,1,4｝ S3???｛3,1,4｝ S4：｛4,1,3｝ 摆盟数为：q1 = 5, q2 = 3, q3 = 1, q4 = 1. 势指标为：b1 = 5/10，b2 = 3/10, b3= b4 = 1/10 例2：一个董事会由4位股东组成，每位股东依次拥有股份为：40%，30%，20%，10%。在董事会投票时，每位股东的票数与他所拥有股份成正比。规则为：（1）严格超过一半，提出的议案通过；（2）只达到一半议案通过；（3）达到或超过2/3议案通过。比较分析。 解（1）：设投票人集合为：N=｛1,2,3,4｝，每人依次拥有股份为：40%,30%,20%,10%. （1）每个投票人的摆盟分别为： S1: {1,2}, {1,3},{1,2,3},{1,2,4},｛1,3,4｝; S2: {2,1},{2,3,4},{2,1,4}; S3:{3,1},{3,1,4},{3,2,4};；S4:{4,2,3}. 摆盟数分别为：q1=5, q2=3, q3=3, q4=1; 势指标分别为：b1=5/12, b2=3/12, b3=3/12, b4=1/12 （2） 只需要50%就可通过，每个投票人的摆盟分别为： S1:｛1,2｝、｛1,3｝、｛1,4｝、｛1,2,4｝、｛1,3,4｝ S2:｛2,1｝、｛2,3｝、｛2,3,4｝ S3:｛3,1｝、｛3,2｝、｛3,2,4｝；S4:｛4,1｝ 每个投票人的摆盟数分别为：q1=5, q2=3, q3=3, q4=1 势指标分别为： b1=5/12, b2=3/12, b3=3/12, b4=1/12. （3）需66.67%就可通过，每个投票人的摆盟分别为： S:｛1,2},｛1,2,3},｛1,2,4},｛1,3,4},｛1,2,3,4｝ S:｛2,1｝,｛2,1,3｝, 2,1,4｝S:｛3,1,4｝；S:｛4,1,3｝ 每个投票人的摆盟数分别为：q=5, q=3, q=1, q=1 势指标为：b=5/10, b=3/10, b=1/10, b=1/10 - 第一章 线性规划 例1：设有一根长为L果的铁丝，要围成一个矩形。问矩形的长和宽各为多少，使所围成的矩形面积最大？ 解：设围成矩形的长为x米，宽为y米，线性规划模型为： Max s = x ×y s.t. x＋y=L/2 （约束条件） 0xL/2, 0yL/2（约束条件） 例2：已知某家俱厂在计划期生产桌子和椅子，不考虑其它情况，只考虑劳动力情况如下。如何安排生产有最多销售收入？ 解：设生产桌子x个，生产椅子y（决策变更为2），要达到销售收入最大：线性规划模型为： Max z=50x＋30y s.t. 4x＋3y≤120 2x＋y≤50 x≥0,y≥0 例3：营养配餐问题： 要求配餐中至少应有热量3000kcal,蛋白质55g，钙300mg。问应怎样配餐成本最低？ 解：设每天配入猪肉 x1千克、鸡蛋 x2千克、大米 x3千克、白菜 x4千克。（决策变量）则配餐问题的线性规划模型如下： Min z=14x1＋6x2＋3x3＋2x4 （目标函数) s.t. 1000x1＋800x2＋900x3＋200x4 ≥3000 50x1＋ 60x2 ＋20x3＋ 10x4 ≥55 400x1＋200x2＋300x3＋500x4 ≥ 800 x i ≥0 i =1, 2, 3, 4. ---------------------------