2-2005 级 高等数学(I)(A)2-2005 级 高等数学(I)(A).doc

2005 级 高等数学（I）（A） 所有的答案都要写在答题纸上，写在试卷上无效 一 填空题（每小题2分，共20分） 1 若 , 则____________。 2 的拐点为 ____________。 3 设 ，为可微函数，则 ____________。 4 已知 ，当时，比是________无穷小（填 高阶、低阶、同阶）。 5 极限 ＝_____________。 6 设 ，则_________________。 7 心形线 弧长为 _______________（用积分表示出来即可）。 8 积分 ＝ __________________。 9 设 在处的阶Taylor公式是 ，则 当 时 系数__________________。 10 已知 则极限 ＝______________。 二 计算（每小题6 分,共 12分） 1 已知 ，求极限 。 2 找出函数的间断点，并且指出间断点的类型。 三 计算（每小题6 分,共 12分） 1 若 ， 求 。 2 若圆 与均过（0，0）点，且在（0，0）点有相同的一阶和二阶导数，试确定此圆的方程。 四 计算（每小题6 分,共 12分） 1 求的单调区间和极值。 2 曲线与直线在处相切，其中，求使得，，所围区域的面积最小。 五 计算（每小题6 分,共 12分） 1 。 2 已知 ，试用A 表示定积分。 六 证明 （每小题6 分,共 12分） 1 若数列，证明 数列极限存在。 2 设函数在上连续，在内可导，且，试证明存在使得。 七 附加题（10分）本题目不记入总分，本题目分数仅供培优班选拔学生参考 下面证明中可直接用“若 存在，则一定存在”这一事实。设在点附近有定义， 1 若 存在，则 。 2 若 和都存在，则。 3 举例说明 当存在时，可以不存在。 4 举例说明当 存在时，可以不存在。 参考答案 一 填空 1 ； 2 ； 3 ； 4 同阶；5 ； 6 ；7 ； 8 ； 9 ； 10 。 二 1 解 2解 函数的间断点是全体整数， ，所以是跳跃间断点； ，所以是可去间断点；其他间断点是第二类间断点。 三 计算 1 解 ； 2解 由于在圆上，因此，在（0，0）点有相同的一阶和二阶导数分别为， 圆的方程两边对x 求导得 于是圆的方程为 四 计算 1 解 ， ，因此在上单调下降， 因此在单调上升， 因此上单调下降。 是极小值点，极小值为 0； 是极大值点，极大值为 2 解 设切点为 ，则切线的方程为 因此 时面积最小，最小值点为 五 解 1 2 解 分部积分可得 ＝ 六 1 证明 由于被积函数为正的连续函数，因此单调增加，又 由单调有界必有极限原理，数列极限存在。 2 证明 设在上最大值和最小值分别为，于是 由连续函数的性质，存在使得。在满足罗尔定理的条件，于是存在使得。 七 1 证明 由于存在，则一定存在。令 ， 则 2 证明 又若都存在则在点右连续，于是 3 例如 ，存在，但不存在。 4 例如，存在，但不存在。 （B卷） 所有的答案都要写在答题纸上，写在试卷上无效 一 填空题（每小题3分，共30分） 1设 则 _____________ 2设函数为可微函数，，则 ____________。 3 函数 的拐点为_____________ 4 已知 ，当时 比是________无穷小（填 高阶、低阶、同阶）。 5 已知，则 ＝_____________。 6 积分 = _________________ 7 设 在处的阶Taylor公式是，则 __________________. 8 曲线 弧长为 ______________（用积分表示出来即可）。 9 广义积分＝__________________________。 10 已知 ，则极限 ＝______________。 二 计算 （每小题 7分，共 14 分） 1 求极限 。 2 找函数的间断点，并且指出间断点的类型。 三 计算 （每小题 7分，共 14 分） 1 求 曲线 在处的切线方程。 2 已知 确定隐函数，求 。 四 计算 （每小题 7分，共 14 分） 1 2 五计算（每小??? 7分，共 14 分） 1 已知 函数 ，确定使得在区间上满足Lagrange中值定理的条件。 2 求的极值点和极值 六 计算或证明（每小题 7分，共 14 分） 1 求 曲线 所围平面区域的面积。 2 如果函数在内可导，且当时，（M是常数），证明 一 填空题（每小题3分，共30分） 1 ； 2 3 （0， 0）； 4 同阶； 5 －1； 6 2 ； 7 ；