第二讲整除与同余教师版.doc

包头市数学联赛辅导 高一数论初步选讲北重三中 樊增平 教用 PAGE  PAGE 10 第二讲 整除与同余 一、整数的进位制 1、【十进制数】给定一个m位的正整数A，其各位上的数字分别记为， A可以表示成10 的次多项式，即，其中 且，简记为. 2、【进制数】若十进制正整数A可以表示为：，其中且，仍然为十进制数，则称A为进制数，记为. 【例题分析】 1、（2008）a是由2005个9组成的2005位数，b是由2005个8组成的2005为数，则ab是（ ）位数. A 4000 B 4004 C 4008 4010 2．求满足的所有三位数。　　　 解：由于，则，从而； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 于是所求的三位数只有512. 3．一个四位数，它的个位数字与百位数字相同。如果将这个四位数的数字顺序颠倒过来（即个位数字与千位数字互换，十位数字与百位数字互换），所得的新数减去原数，所得的差为7812，求原来的四位数。　 解：设该数的千位数字、百位数字、十位数字分别为，则 原数  = 1 \* GB3 ①； 颠倒后的新数　　 = 2 \* GB3 ② 由 = 2 \* GB3 ②－ = 1 \* GB3 ①得7812＝ 即　　　 = 3 \* GB3 ③ 比较 = 3 \* GB3 ③式两端百位、十位、个位数字得. 由于原四位数的千位数字不能为0，所以，从而，又显然百位数字， 所以，所以所求的原四位数为1979. 二、整除的概念及其性质 （一）、基本概念 1、定义：设是给定的整数，，若存在整数，使得,则称整除，记作，并称是的一个约数(或因数)，称是的一个倍数，如果不存在上述，则称不能整除,记作 . 2、整除的性质 (1) 若且，则(传递性)； (2) 若且，则; 若反复运用这一性质，易知及，则对于任意的整数有; 更一般，若，则其中； (3) 若，则或者，或者;特别地，若且，则； (4) (带余除法定理) 设为整数，，则存在一对整数和，使得，其中，满足以上条件的整数和是唯一确定.整数称为被除得的商，数称为被除得的余数。 注意：共有种可能的取值：0,1，……，；若，即为被整除的情形； （5）若是正整数，则； (6) 如果在等式中去掉某一项外，其余项均为的倍数，则去掉项也是的倍数； (7) m（m≥2且）个连续整数中，有且只有一个是m的倍数； (8) 任何n（n≥2且）个连续的整数之积一定是n!的倍数，特别地，三个连续正整数之积能被6整除； （9）若一个整数的未位数字能被2（或5）整除，则这个数能被2（或5）整除，否则不能； （10）一个整数的数码之和能被3（或9）整除，则这个数能被3（或9）整除，否则不能； （11）若一个整数的未两位数字能被4（或25）整除，则这个数能被4（或25）整除，否则不能； （12）若一个整数的未三位数字能被8（或125）整除，则这个数能被8（或125）整除，否则不能； （13）若一个整数的奇位上的数码之和与偶位上的数码之和的差是11的倍数，则这个数能被11整除，否则不能。 （14）① 质数：一个大于1的正整数，如果它的因数只有1和它本身，则称为质数或素数； ② 合数：如果一个正整数包含有大于1且小于其本身的因子，则称这个正整数为合数。 （二）、奇数、偶数的性质 (1) 奇数奇数=偶数，偶数偶数＝偶数，奇数偶数＝奇数，偶数偶数＝偶数，奇数偶数＝偶数，奇数奇数＝奇数；任意多个偶数的和、差、积仍为偶数，奇数个奇数的和、差仍为奇数，偶数个奇数的和、差为偶数. （2）奇数的平方都可以表示成的形式，偶数的平方可以表示为或的形式，其中； （3）任何一个正整数，都可以写成的形式，其中为负整数，为偶数。 （4）若有限个整数之积为奇数，则其中每个整数都是奇数；若有限个整数之积为偶数，则这些整数中至少有一个是偶数；两个整数的和与差具有相同的奇偶性；偶数的平方根若是整数，它必为偶数。 （三）、完全平方数及其性质 能表示为某整数的平方的数称为完全平方数，简称为平方数，平方数有以下性质： （1）平方数的个位数字只可能是0, 1，4 , 5，6, 9； （2）偶数的平方数是4的倍数，奇数的平方数被8除余1，即任何平方数被4除的余数只有可能是0或1； （3）奇数平方的十位数字是偶数； （4）十位数字是奇数的平方数的个位数一定是6； （5）不能被3整除的数的平方被3除余1，能被3整除的数的平方能被3整除。因而，平方数被9除的余数为0,1，4,7，且此平方数的各位数字的和被9除的余数也只能是0,1，4,7； （6）平方数的正约数的个数为奇数个；