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机械工程测试技术基础习题解答 第一章 信号的分类与描述 1-1 求周期方波（见图1-4）的傅里叶级数（复指数函数形式），划出|cn|–ω和φn–ω图，并与表1-1对比。 图1-4 周期方波信号波形图 0 t x(t) … … A -A 解答：在一个周期的表达式为 积分区间取（-T/2，T/2） 所以复指数函数形式的傅里叶级数为 ，。 没有偶次谐波。其频谱图如下图所示。 |cn| φn π/2 -π/2 ω ω ω0 ω0 3ω0 5ω0 3ω0 5ω0 2A/π 2A/3π 2A/5π 幅频图 相频图 周期方波复指数函数形式频谱图 2A/5π 2A/3π 2A/π -ω0 -3ω0 -5ω0 -ω0 -3ω0 -5ω0 1-2 求正弦信号的绝对均值和均方根值。 解答： 1-3 求指数函数的频谱。 解答： 单边指数衰减信号频谱图 f |X(f)| A/a 0 φ(f) f 0 π/2 -π/2 1-4 求符号函数(见图1-25a)和单位阶跃函数(见图1-25b)的频谱。 t sgn(t) 0 1 -1 t u(t) 0 1 图1-25 题1-4图 a)符号函数 b)阶跃函数 a)符号函数的频谱 t=0处可不予定义，或规定sgn(0)=0。 该信号不满足绝对可积条件，不能直接求解，但傅里叶变换存在。 可以借助于双边指数衰减信号与符号函数相乘，这样便满足傅里叶变换的条件。先求此乘积信号x1(t)的频谱，然后取极限得出符号函数x(t)的频谱。 符号函数 t x1(t) 0 1 -1 符号函数频谱 f φ(f) 0 π/2 0 f |X(f)| -π/2 b)阶跃函数频谱 在跳变点t=0处函数值未定义，或规定u(0)=1/2。 阶跃信号不满足绝对可积条件，但却存在傅里叶变换。由于不满足绝对可积条件，不能直接求其傅里叶变换，可采用如下方法求解。 解法1：利用符号函数 结果表明，单位阶跃信号u(t)的频谱在f=0处存在一个冲激分量，这是因为u(t)含有直流分量，在预料之中。同时，由于u(t)不是纯直流信号，在t=0处有跳变，因此在频谱中还包含其它频率分量。 单位阶跃信号频谱 f |U(f)| 0 (1/2) f φ(f) 0 π/2 -π/2 解法2：利用冲激函数 根据傅里叶变换的积分特性 1-5 求被截断的余弦函数(见图1-26)的傅里叶变换。 图1-26 被截断的余弦函数 t t T -T T -T x(t) w(t) 1 0 0 1 -1 解： w(t)为矩形脉冲信号 所以 根据频移特性和叠加性得： 可见被截断余弦函数的频谱等于将矩形脉冲的频谱一分为二，各向左右移动f0，同时谱线高度减小一半。也说明，单一频率的简谐信号由于截断导致频谱变得无限宽。 f X(f) T f0 -f0 被截断的余弦函数频谱 1-6 求指数衰减信号的频谱 指数衰减信号 x(t) 解答： 所以 单边指数衰减信号的频谱密度函数为 根据频移特性和叠加性得： 0 0 X(ω) -π π φ(ω) ω ω 指数衰减信号的频谱图 1-7 设有一时间函数f(t)及其频谱如图1-27所示。现乘以余弦型振荡。在这个关系中，函数f(t)叫做调制信号，余弦振荡叫做载波。试求调幅信号的傅里叶变换，示意画出调幅信号及其频谱。又问：若时将会出现什么情况？ 图1-27 题1-7图 ω F(ω) 0 f(t) 0 t -ωm ωm 解： 所以 根据频移特性和叠加性得： 可见调幅信号的频谱等于将调制信号的频谱一分为二，各向左右移动载频ω0，同时谱线高度减小一半。 f X(f) ω0 -ω0 矩形调幅信号频谱 若将发生混叠。 1-8 求正弦信号的均值、均方值和概率密度函数p(x)。 解答： (1)，式中—正弦信号周期 (2) (3)在一个周期内 x(t) 正弦信号 x x+Δx Δt Δt t 第二章 测试装置的基本特性 2-1 进行某动态压力测量时，所采用的压电式力传感器的灵敏度为90.9nC/MPa，将它与增益为0.005V/nC的电荷放大器相连，而电荷放大器的输出接到一台笔式记录仪上，记录仪的灵敏度为20mm/V。试计算这个测量系统的总灵敏度。当压力变化为3.5MPa时，记录笔在记录纸上的偏移量是多少？ 解：若不考虑负载效应，则各装置串联后总的灵敏度等于各装置灵敏度相乘，即 S=90.9(nC/MPa)?0.005(V/nC)?20(mm/V)=9.09mm/MPa。 偏移量：y=S?3.5=9.09?3.5=31.815mm。 2-2 用一个时间常数为0.35s的一阶装置去测量周期分别为1s、2s和5s的正弦信号，问稳态响应幅值