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测量平差第二章讲解
第二章 误差理论
与平差原则 ;主要内容;主要内容;第一节 偶然误差的规律性;寻找偶然误差之规律性的方法
三种统计分析:
1. 统计表
2. 直方图
3. 误差分布
;统计表;;偶然误差的特性
由统计分析可以看出,偶然误差具有下列特性:
1、有界性:在一定的观测条件下,偶然误差的绝对值有一定的限值,即超过一定限值的偶然误差出现的概率为零
2、聚中性:绝对值较小的偶然误差比绝对值较大的偶然误差出现的概率大;
3、对称性:绝对值相等的正负偶然误差出现的概率相同;
4、抵偿性:偶然误差的理论平均值为零,即
;例2:在相同的条件下独立观测了421个三角形的全部内角,每个三角形内角之和应等于180度,但由于误差的影响往往不等于180度,计算各内角和的真误差,并按误差区间的间隔0.2秒进行统计。;;; 由高中学过的概率论知,该曲线是正态分布的概率分布曲线。高斯在研究误差理论时最先使用了这一分布,所以正态分布又称为高斯分布。测量上通常将正态分布作为偶然误差的理论分布。或者说偶然误差服从正态分布。其密度函数为:
式中: 和 为参数。
注:教材中将 书成 ,会造成前后学习不自然,故而统一之。
;由密度函数
知,偶然误差 为正态随机变量。所以又称偶然误差为随机误差。
下面来看参数 和 是什么。
对正态随机变量 求数学期望:
;作变量代换,令
得
因;所以
再求 的方差 。
同样作变量代换,可得:; 由以上推导知,参数 和 分别是随机误差 的数学期望和方差。它们确定了正态分布曲线的形状。
由
知,随机误差 的数学期望等于零。
由正态分布知,正态分布曲线具有两个拐点,这两个拐点在横轴上的坐标为
方差的几何意义是:方差是正态分布曲线的拐点横坐标。;检测观测值合理性的一般原则:
(1)制定测量限差:在实际工作中,可依据观测条件确定一个误差限值,若观测值的误差绝对值小于该限值,认为观测值合乎要求,否则,应该删除;
(2)判断系统误差(粗差)的依据:随机观测系统下,误差的理论平均值为零,即观测值的期望值为其真值。若误差的理论平均值不为零,且数值较大,说明观测成果中含有系统误差和粗差。
;第二节 衡量精度的指标;精度、准确度和精确度的形象描述;二、 衡量精度的指标
精度虽然可以通过直方图或分布曲线的形状来描述,但在实际工作中很麻烦,且不能用一个数字来衡量其高低。为此,人们希望通过一个数字来反映偶然误差的离散程度。能反映偶然误差的离散程度的数字称为衡量精度的指标。这样的数字很多,比如:
1. 方差和中误差 设在相同的观测条件下得到一组独立观测误差 ,则其方差定义为:
; 方差的算术平方根定义为中误差( 统计中的标准差), 即
注:[ ]为求和符号, 表示 ;
在实际工作中,n总是有限的,由有限个观测值的真误差只能求得方差和中误差的估值:
和
; 2.平均误差 设在相同的观测条件下得到一组独立观测误差 ,则其平均误差由 之绝对的数学期望(绝对值的平均数)定义,即:
因为
所以 ; 由上式知,不同的 ,对应着不同的 ,于是就对应着不同的误差分布曲线。所以平均误差 也可作为衡量精度的指标。
在实际工作中,既可通过以上等量关系来计算平均误差的估值:
也可由下式计算之: ; 3. 或然误差
当观测误差出现在 之间的概率等于二分之一时,称 为或然误差(如图),即
令 ,则有
由概率积分表可查得,当概率为二分之一时,积分限为0.6745,于是可得中误差与或然误差的理论关系:
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