2.4导数的应用医学高等数学课件讲义.ppt

第四节 导数的应用;一、 Lagrange中值定理; 拉格朗日中值定理的几何意义 当曲线方程满足拉格朗日定理的 要求时，在区间内至少存在一点 ? ，使得该点的切线平行于曲线 两端点 ( a, f(a) )与 ( b, f(b) )的连 线，其斜率为;推论1：如果对于任意x∈(a , b)，有f ’(x)=0，则f(x)=c(c为常数);由于x1 , x2是任意选取的，故在整个(a , b)区间内，f (x)取恒定的值，即 f (x)在(a , b)恒为常数。我们假设它为c，故可得 f (x)=c。;推论2：如果对于任意x∈(a , b) ，有f ’(x) = g’(x) ，则f (x)= g(x)+c(c为常数);例:;例如,;定理1 设函数 f(x), g(x)在点 x0 的某个去心邻域上有定义，如果 （1）当 x? x0 时，函数 f(x)及g(x)都趋于0或都趋于无穷大； （2）函数 f (x)，g(x)在 x0 的某个去心邻域内可导，且g?(x) ? 0 ； ;（3）极限 存在（或者为无穷大）, 则有; 如果极限 仍属于 型的不定式，且满足定理的条件，则可以继续使用上述定理，即;例1 求极限 ; 定理 2 设函数 f(x), g(x)在| x| N 时有定义，如果 （1）当 x? ? 时，函数 f(x)及g(x)都趋于0或都趋于无穷大； （2）函数 f(x)，g(x)在 | x| N 时可导，且g?(x) ? 0 ； ;（3）极限 存在（或者为无穷大）； 则有 ;如果极限 仍属于 型的不定式，且满足定理的条件，则可以继续使用上述定理，即;例2 求极限;例3 求极限;例4 求极限; 例 5 求极限;;例6：求 解：;例7：求 解：;例8：求 解：;故;对于 这三种类型求极限，我们要使用洛必达法则时，先将其化为指数函数的形式，再对其指数使用洛必达法则求极限，然后根据我们的复合函数连续性，就可以把极限符号拿进函数符号里面，这样我们就可以求出极限了。;三、函数的单调性;定理 设函数 f(x)在区间 （a，b）内可导，如果在区间（a，b）内， f ?(x) 0 （或 f ?(x) 0 ）,则函数 y=f(x)在区间 (a，b)上单调增加（或单调减少）。; 由于 f ?(?) 0，因此， f( x2) f( x1)。即 f(x)为单调增加。( 对于单调减少的情况类似可以证明。);利用导数和单调性关系求单调区间的步骤：;例 1 确定函数 的单调区间。;当 x?（-?，1）时，有 f ?(x) ? 0，所以，函数 f(x)在这个区间内为单调增加。 当 x?（1，2）时，有 f ?(x) 0，所以，函数 f(x)在该区间内为单调减少。 当 x?（2，?）时，有 f ?(x) ? 0，所以，函数 f(x)在这个区间内为单调增加。 ;例 2 证明 ;四、 函数的极值与最值;注意：函数的极值是函数的一个局部最大值或局部最小值，它通常并不等于函数的整体最大值或最小值。函数在整个区间上可能有若干个极大值和极小值，极大值可能必极小值还小，因为极值是一个局部性的概念。;同时，我们还看到，在 函数取得极值的地方，曲 线的切线是水平的，即 f ’(x)=0；但切线水平，即 f ’(x)=0，该点未必取极值， 如下图