2009年全国高中数学联赛江西省预赛试题及答案讲义.doc

2009年全国高中数学联赛江西省预赛试题 一、填空题（ 每小题10分，共分） 　　1. 某人在将中间的两个数码分别换成两位数与时，恰好都得到完全平方数：，则数组 ． 2. 若一个椭圆的焦点和顶点分别是双曲线的顶点和焦点，则椭圆的方程为： ． 　　3. 实数满足，则的最大值是 ． 　　4. 四面体中，平面与平面成的二面角，则点到平面的距离为 ． 　　5. 从集合中，去掉所有的倍数以及的倍数后，则中剩下的元素个数为 ． 　　. 函数的值域是 ． 　　. ． 　　. 九个连续正整数自小到大排成一个数列，若的值为一平方数，的值为一立方数，则这九个正整数之和的最小值是 ． 　　二、解答题（ 共分） . （20分）给定轴上的一点（），对于曲线上的动点，试求两点之间距离的最小值（用表示）． . （分）如图，、、是一个圆中三条互不相交的弦，以其中每两条弦为一组对边，各得到一个凸四边形，设这三个四边形的对角线的交点分别为；证明：三点共线． . （25分）项正整数列的各项之和为，如果这个数既可分为和相等的个组，又可分为和相等的个组，求的最小值． 答案 　　1. 提示： 注意到，对于整数，若的末位数为，则的末位数必为或，易知，（），，因此，于是，若要满足条件，只可能是，，由于，，所以，． 2. 提示：双曲线的两顶点为，两焦点为，故由条件，椭圆的两焦点为，两顶点为，因此，，，则椭圆的方程为． 　　3. 提示：令，则，由，得，因为实数，则判别式，得． 　　4. 提示：，作平面，垂足为，连，由三垂线逆定理，，所以，故，，又因为正方形，，则，因此正三角形的面积为，设到平面的距离为，由，得 5. ．提示：集合中，的倍数有个，的倍数有个，的倍数有个，则剩下的元素个数为个． . 提示：，令，则 ， 由此，，当时两边分别取得等号． . ．提示： ． 　（注：由，则，即．） . 提示：设这九数为 ，则有，，，，则，得 ① 令，得，所以 ，再取，， 化为 ，取，可使左式成立，这时，， ． . 如图，易求得曲线上诸点的坐标为：，当，即时，曲线方程为 ……①； 而当时，曲线方程为 ……②，对于情形①，即时，显然当位于顶点处时，距离取得最小值； 对于情形②，即在或时，设点，由于 ， 因，则，，于是，当时，取得最小值；再比较与：令 ， 则当时，，，即最小值为；而当时，，则最小值． . 如图，设为三条不相交的弦，其中，，，又设，点截的三边，据梅涅劳斯逆定理，只要证 ①， 用记号表示三角形面积，则由 ② ③ 由此得 ， 因此只要证， ， ④ 注意 ， ，则 所以 ，即④成立，从而①成立，故结论得证． . 设分成的个组为，每组中的各数和皆为，称这种组为类组；而分成的个组为，每组中的各数和皆为，称这种组为类组． 显然，每个项恰好属于一个类组和一个类组，即同类组之间没有公共项，如果两个组中有两个公共项，则可以将这两个数合并为一个项，这样可使值减少，故不妨设，每对至多有一个公共项． 今用点分别表示，而点表示组， 如果组有公共项，则在相应的点之间连一条边，于是得二部图，它恰有条边和个顶点．下面证明是连通图． 如果图的最大连通分支为，其顶点数少于，设在分支中，有个类顶点和个类顶点，其中，则在相应的类组和类组中，类组中的每个数都要在某个类组中出现；而类组中的每个数也都要在某个类组中出现，（否则将有边与分支外的顶点连接，发生矛盾），因此个类组中各数的和应等于个类组中各数的和，即有，由此得，，所以，矛盾！因此是连通图．于是图至少有条边，即； 另一方面，我们可实际构造一个具有项的数列，满足本题条件．例如取 ，，（该数列有个取值为的项；个取值为的项；另将其余七个拆成七对，其中四对，两对，一对，又得到个项），于是，每个类组可由一个，一个，或者由一个，添加一对和为的项组成；这样共得个类组，每组各数的和皆为；为了获得和为的个类组，可使 各成一组，其余的数可以拼成八个类组：的组四个，的组两个，的组一个，的组一个．故的最小值为．