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基本计数原理二
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《基本计数原理》复习学案(二)
2010.5
例题分析
(Ⅰ)排列组合特殊题型
(ⅰ)定序问题用除法
例1. 由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的六位数有多少个?
(ⅱ)分排问题用直排法
对于把几个元素分成若干排的排列问题,若没有其他特殊要求,可采取统一成一排的方法求解。
例2. 9个人坐成三排,第一排2人,第二排3人,第三排4人,则不同的坐法共有多少种?
(ⅲ)等价转化法
例3.马路上有12只路灯,为节约用电又不影响正常的照明,可把其中的三只路灯关掉,但不能同时关掉相邻的两只或三只,也不能关掉两端的路灯,那么满足条件的关灯方法共有多少种?
(ⅳ)构造“隔板”模型法
例4.方程a+b+c+d=12有多少组正整数解?
(Ⅱ)排列组合解题策略
(ⅰ)多元问题用分类法
按题目条件,把符合条件的排列、组合问题分成互不重复的若干类,分别计算,最后计算总数。
例5. 已知直线中的a,b,c是取自集合{-3,-2,-1,0,1,2,3}中的3个不同的元素,并且该直线的倾斜角为锐角,求符合这些条件的直线的条数。
变式:如图,一个地区分为5个行政区域,现给地图着色,
要求相邻地区不得使用同一颜色,现有4种颜色可供选择,则
不同的着色方法共有 种.(以数字作答)
(ⅱ) 排列组合综合问题用先选后排的策略
处理排列、组合综合性问题一般是先选元素,后排列。
例6. 将4名教师分派到3所中学任教,每所中学至少1名教师,则不同的分派方案共有多少种?
(ⅲ)复杂问题用排除法
对于某些比较复杂的或抽象的排列问题,可以采用转化思想,从问题的反面去考虑,先求出无限制条件的方法种数,然后去掉不符合条件的方法种数。在应用此法时要注意做到不重不漏。
例7. 四面体的顶点和各棱中点共有10个点,取其中4个不共面的点,则不同的取法共有( )
A. 150种 B. 147种 C. 144种 D. 141种
(Ⅲ)二项式定理
(ⅰ)展开式中二项式系数问题
例8.若展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列.
求n的值;
(2)此展开式中是否有常数项,为什么?
(ⅱ)展开式中项的系数问题
例9. 若(1+2x)7=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7,求
展开式中各项系数和;(2)a0+a2+a4+a6的值。
变式:已知展开式的各项系数之和比它的二项式系数之和大992
(1)求展开式中的有理数项 (2)求展开式中系数最大的项
对应练习
1.有4名男生3名女生排成一排,若3名女生中要有2名女生站在一起,但3名女生不能全排在一起,则不同的排法种数有 ( )
A、2880 B、3080 C、3200 D、3600
2.从3名男生和2名女生中选出3名代表去参加辩论比赛,则所选出的3名代表中至少有1名女生的选法共有 ( )
A.种 B.种 C.种 D.种
3.三张卡片的正反面上分别写有数字0与2,3与4,5与6,把这三张卡片拼在一起表示一个三位数,则三位数的个数为 ( )
A. 36 B.40 C.44 D.48
4.体育老师把9个相同的足球放入编号为1、2、3的三个箱子里,要求每个箱子放球的个数不少于其编号,则不同的放法有___ _____种
5.一个口袋内有4个不同的红球,6个不同的白球,若取一个红球记2分,取一个白球记1分,从中任取5个球,使总分不少于8分的取法有__ __种 (用数字作答).
6.有四位医生、六位护士、五所学校
(1)若要选派三位医生到五所学校之中的三所学校举办健康教育讲座,每所学校去一位医生有多少种不同的选派方法?
(2)在医生或护士中任选五人,派到五所学校进行健康情况调查,每校去且仅去一人,有多少种不同的选派方法?
(3)组成三个体检小组,每组一名医生、两名护士,到五所学校中的三所学校为老师体检,有多少种不同的选派方法?
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