清华大学测试技术第三章讲解.ppt

2.2.7.3 相关分析;一、相关(correlation);评价变量x和y间线性相关程度的经典方法： 协方差σxy： 式中，E表示数学期望值； μx=E[x]为随机变量x的均值； μy=E[y]为随机变量y的均值； 相关函数ρxy： 式中σx、σy分别为x、y的标准偏差，而x和y的方差σx2和σy2则分别为 ; 利用柯西—许瓦兹不等式(Cauchy-Schwarz inequality) 可知|ρxy|≤1。 当ρxy=1时，所有数据点均落在y-μy=m(x- μx)的直线上，因此x,y两变量是理想的线性相关。 当ρxy=0时，(xi-μx)与(yi-μy)的正积之和等于其负积之和，因而其平均积σxy为0，表示x,y之间完全不相关。 ;二、互相关函数与自相关函数 ; 当y(t) ≡x(t)时，得自协方差(auto-covariance)函数 其中 称为x(t)的自相关(auto-correlation)函数。 周期函数的自相关函数仍为周期函数，且两者的频率相同，但丢掉了相角信息。 同频相关，不同频不相关。 ;图2.53 典型的自相关函数和互相关函数曲线 (a)自相关函数 （b）互相关函数 ; 例1 求正弦函数x(t)=Asin(ωt+φ)的自相关函数。 解：正弦函数x(t)是一个均值为零的各态历经随机过程，其各种平均值可用一个周期内的平均值来表示。 令ωt+φ=θ,则dt=dθ/ω,由此得 正弦函数的自相关函数是一个与原函数具有相同频率的余弦函数，它保留了原信号的幅值和频率信息，但失去了原信号的相位信息。 自相关函数可用来检测淹没在随机信号中的周期分量。 ;自相关和互相关函数的估计 和 具有限个数据点N的相关函数估计的数字处理表达式则为： ;三、相关函数的工程意义及应用 ;相关滤波(filtering by correlation) ;相关测速和测距 ;图2.57 带钢测速系统 ;测量流速和流量 ;2.2.7.4 功率谱分析 ;2.2.7.4 功率谱(power spectrum)分析 ;一、自功率谱密度函数;Sx(f)为x(t)的自功率谱密度函数(auto power spectrum)，简称自谱或功率谱。 功率谱Sx(f)与自相关函数Rx(τ)之间是傅里叶变换对的关系，亦即 式（2.167）和（2.168）称为维纳——辛钦（Wiener-Khintchine）公式。 由于Rx(τ)为实偶函数，因此亦为Sx(f)实偶函数。 ; 当τ=0时，根据自相关函数Rx(τ)和自功率谱密度函数Sx(f)的定义，可得 Sx(f)曲线下面和频率轴所包围的面积即为信号的平均功率； Sx(f)就是信号的功率谱密度沿频率轴的分布，故也称为功率谱。 ;二、巴塞伐尔（Parseval）定理; x(t)为实函数，故X(-f)=X*(f)，于是有 巴塞伐尔定理：信号在时域中计算的总能量等于它在频域中计算的总能量。 式（2.170）又称信号能量等式。|X(f)|2称能量谱，它是沿频率轴的能量分布密度。在整个时间轴上信号的平均功率可计算为 自谱密度函数与幅值谱之间的关系为 ; 对于单边功率谱G(f) 也应满足巴塞伐尔定理，故有 由此规定 Gx(f)的图形如图2.59中所示。 ;根据信号功率（或能量）在频域中的分布情况，将随机过程区分为窄带随机、宽带随机和白噪声等几种类型。 窄带过程的功率谱（或能量）集中于某一中心频率附近，宽带过程的能量则分布在较宽的频率上，而白噪声过程的能量在所分析的频域内呈均匀分布状态。 ;三、互功率谱密度函数; 定义信号x(t)和y(t)的互功率为 因此互谱和幅值谱的关系为 正如Ryx(τ)≠Rxy(τ)一样，当x和y的顺序调换时，Syx(τ)≠Sxy(τ) 。但根据Rxy(-τ)=Ryx(τ) 及维纳—辛钦关系式，不难证明： 其中 ; Sxy(f)也是含正、负频率的双边互谱，实用中也常取只含非负频率的单边互谱Gxy(f)，由此规定 自谱是f的实函数，而互谱则为f的复函数，实部Cxy(f)称为共谱(cospectrum)，虚部Qxy(f)称为重谱(quad spectrum)，即 写为幅频和相频的形式： ;四、自谱和互谱的估计;五、工程应用 ;一个线性系统的输出y(t)等于其输入x(t)和系统的脉冲响应h(t)的卷积，即 根据卷积定理，上式在频域中化为 式中H(f)即为系统的频响函数。 ;通过自谱和互谱来求取H(f)： 对式（2.193）两端乘以各自的复共轭并取期望值有 上式反映出输入与输出的功率谱