杨浦秋季补习班新王牌奥数思维训练6.docx

第六讲 约数、公约数与最大公约数 【本讲知识点】 几个数公有的约数，叫做几个数的公约数。公约数的个数是有限的，其中最大的一个叫做这几个数的最大公约数。数a、b的最大公约数是m，就记作m=(a，b)，如果(a，b）=1，则a和b互质，a和b叫做互质数。求几个数的公约数和最大公约数的方法主要有：分解质因数，短除法或辗转相除法。公约数和最大公约数有如下性质：对于两个自然数a和b（a，b均不为0） ①若a=nb(n为自然数且n≠0)，(a，b)=b； ②若ab，则(a-b，b)=(a，b)； ③(a+b，b)=(a，b)； ④a=(a，b)×p，b=(a，b)×q(其中p、q为自然数，且p、q互质)。此时称p、q分别为a、b各自的“独有约数”； ⑤若ab，(a，b)等于a除以b所得的余数与另一个数的最大公约数； ⑥若自然数（其中均为质数，是自然数），则的约数的个数为，所有约数的和为 【例题】 1、求72的全部约数有多少个？并求出全部约数的和。 2、有八个不同约数的自然数中，最小的一个数是多少？ 3、有一个自然数分别去除360，314，245得到相同的余数，这个自然数最大可能是多少？ 4、把一块长为56厘米，宽42厘米的长方形纸裁成同样大小的正方形纸块，而没有剩余，问能裁成最大的正方形纸块的边长是多少？共裁成几块？ 5、某幼儿园到图书馆借书，如借35本，平均分发给每个小朋友差1本；如借56本，平均分给每个小朋友后还剩2本；如借69本，平均分发给每个小朋友差3本。问幼儿园最多有多少个小朋友？ 6、两个数的和是70，它们的最大公约数是7，这两个数的差是多少？ 【课堂练习】 1、求120的全部约数个数，并求出全部约数的和。 2、在所有含有九个约数的自然数中，最小的一个数是多少？ 3、692，608，1126三个数分别除以同一个自然数，得到的余数相同，这个自然数是多少？ 4、一张长方形的纸，长7分米5厘米，宽6分米。现在要把它裁成一块的正方形，而且正方形边长为正厘米数，有几种裁法？如果要正方形面积最大，可以裁多少块？ 5、工人加工零件，第一批毛坯1788个，第二批毛坯1680个，第三批毛坯2098个，现平均分配给工人，分别剩7???，3个，5个。问加工的工人最多有多少个？ 6、两个自然数的和为50，它们的最大公约数是5，求这两个数的积。 【课后练习】 1、在自然数中，恰好有4个约数的两位数共有多少个？ 2、4500共有多少个约数？ 3、在100至300之间，只有三个约数的是那些数？ 4、有一些自然数除以2003所得的余数都是41，那么将这些自然数从小到大排列后的第四个数是多少？ 5、有22块橡皮和33支铅笔平均分给参加打扫教室卫生的同学，结果橡皮多1块，铅笔多2支。参加打扫卫生的同学最多有多少名？ 6、一个长方体木块，长2.7分米，宽1.8分米，高1.5分米。要把它切成大小相等的正方体木块，不许有剩余。正方体的棱长最大是多少分米？ 7、求不大于200的只有15个约数的所有自然数？ 8、甲、乙两数都只含有质因数2，3。甲数有21个因数，乙数有10个因数，它们的最大公因数是18，求甲、乙两数。 9、一个数除以200余4,；除300余6；除500余10，求这个数最大是多少？ 10、如图，街道ABC在B处拐弯，在街道一侧等距离装路灯，要求A、B、C处各装一盏路灯，这条街道最少装多少盏路灯？ 11、有四个大于0的不同的自然数，它们的和是1111，如果要使四个数的公因数尽可能大，那么这四个数的公因数最大是多少？ 12、有336支铅笔，252块橡皮，210个文具盒，用这些文具，最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，铅笔、橡皮、文具盒各有多少？