河南工业大学0910数值分析计算方法B答案与评分标准.doc

2009至 2010学年第 一 学期计算方法 试卷B卷 评分标准 得分评卷人一、填空题（每空2分，共24分） (1) 2.718, ， (2) 3，4; (3)；（4） ；2；（5）迭代矩阵B的谱半径小于1或（6）；（7）；（8） 二（12分）解：（1）当迭代函数满足（1），（2）时，对任意的初值迭代法总是收敛的.---------------------------------------------------------4 （2）取1.5附近的区间[1，2]，构造迭代格式：（），----------4分 在该区间上考察迭代格式对应的迭代函数，容易验证时，，并且 ，故迭代格式收敛对任意的初值均收敛---------------------------------------- 4 说明：本题答案不唯一，只要经过验证收敛的格式都算正确. 三（11分）解： ，--------------------------5 二次牛顿插值多项式为： -----4 余项表达式为：-----------------------------------2 四（12） 设所求的二次多项式为，代入插值条件得应满足：，解之得：， 故所求二次插值多项式为------------------------------------6 （2） 设余项，由插值条件知道：余项应满足：，故可设，其中，为待定函数。 对任意固定的，作辅助函数：----------(1) 则，对连续使用3次罗尔定理得：至少存在使得，代入（1）式得：，从而，插值余项表达式为：------------------------------------------------------------------------------------6 注：本题的第一个问题有多种做法，最后只要得到答案： =都算正确，其它做法可参考上述标准给分。 六（14分）解： Jacobi迭代格式为：，------------------4 Jacobi迭代的迭代矩阵为，其特征值，谱半径，故对于任意的初值，Jacobi迭代均收敛.-------------------------------------------------------------------------4 Gauss-Seidel迭代格式为：，---------------------------3 SOR迭代格式为：----------------------------------3 六（15分）---------5 2、= =----------------------------------------------------------------------------5 （3）上述求积公式是插值型的，故对于对于 和准确成立， 当时，，这说明求积公式对精确成立。 当时，，这说明求积公式对精确成立。 但当时，，这说明求积公式对 不成立。故由所导出的求积公式的代数精确度为3--------------------------------------------------------------5. 七（12分） （1）解：最小二乘??法方程组为：-------------------------------4 (2)设拟合函数为，所满足的法方程组为----------------------------------------------------------4 解方程组得，所求拟合曲线为：。----------------------2 (3) 对于两边取对数得，令把非线性问题化为线性拟合问题.---2