任务1极限与连续选编.ppt

学习情景二 建筑工程中受弯构件的变形计算和惯性矩的计算 极限与连续 任务1 极限与连续 本任务的主要内容： 1，极限的概念 2，无穷小量与无穷大量 3，极限的四则运算法则 4，极限存在准则与两个重要极限 5.函数的连续性 1.1极限的概念 1.1.1数列的极限 定义1 如果当n无限增大时（记为 ），数列yn无限接近于某个常数A，则称A为数列yn的极限．记为： 或 （当时 ） 这时，也称数列yn收敛于A．否则称数列yn发散． 例1 考察数列的变化趋势，写出它们的极限 解 (1) 当n取1，2，3，4，5，… 自然数时， yn的各项为： 因为当n无限增大时， yn无限接近2，由数列极限定义有： (2)当n取1，2，3，4，5，… 自然数时，yn的各项为： 因为当n无限增大时，yn无限接近0，由数列极限定义有： (3)当n取1，2，3，4，5，… 自然数时，yn也无限增大，所以没有极限． 定义2（极限的“ ”定义）设有数列｛ ｝，若对于任意给定的正数 （不论多么小），总存在一个正整数N，当nN时，使得： 恒成立，则称当n无限增大时数列｛ ｝以A为极限，记为： 或 （当 时） 注意：定义中的 刻画yn与A的接近程度，N刻画总有那么一个时刻（即刻画n充分大的程度）. 是任意给定的，而N是由 确定的正整数， 越小，N越大，这就说明越在后面的项的值越接近常数A. 例2 用极限的定义证明： 证明 对于任意给定的 ，要使： 成立, 即 成立.只要有 就可以.. 因此对于任意给定的 ，让N=[ ].当nN时， 恒成立.所以数列以2为极限，即 1.1.2 函数的极限 1. 当 时，函数y=f(x)的极限 定义3 如果当 （或 ）时，函数f(x)无限接近于一个确定的常数A，则称A为函数f(x)当 （或 ）时的右（左）极限．记为： 或 （当 或 时） 例3 设 求 和 解： 如图2.5所示 从图2.5 可以看出，当 时，函数的值无限趋近于0；同样，当 时，函数的值也无限趋近于0．所以 定义4 如果当x的绝对值无限增大（即 ）时，函数f(x)无限趋近于一个确定的常数A，那么A叫做函数f(x)当 时的极限．记为 或 （当 时） 一般地，函数在 时的极限与在 时的极限有如下关系： 定义5（“ ”定义）设有函数y=f(x)，若对于任意给定的正数 （不论多么小），总存在一个正数M， 当 时，使得 恒成立，则称A为函数y=f(x)当 时的极限.记为： 或 （当 时）。 注意：定义中的 刻画f(x)与A的接近程度，M刻画 充分大. 是任意给定的正数，而M是由 确定的正数. 例6用极限的定义证明： 证明： 设f(x)= , 对于任意给定的 ， 要使： 成立,即 成立.只要 就可以.因此对于任意给定的 ，取正数 .则当 时， 恒成立. 所以 2.当 时，函数y=f(x)的极限 考察函数 ，当 时的变化趋势． 如图2.8所示，当无限趋近于1时，函数的值将无限趋近于2，对于这种变化趋势,我们有如下定义： 定义6 设函数f(x)在点x0