直线与圆的位置关系教学实录.doc

直线与圆的位置关系教学实录 李飞 教学目标: ( 1) 深刻理解直线和圆的三种位置关系与相应二元二次方程组的解的对应关系, 掌握根据给定直线和圆的方程来判断其位置关系的两种方法; ( 2) 能依据直线和圆的方程熟练求出它们的交点坐标, 能利用题设条件解答涉及直线与圆的位置关系的简单综合题; ( 3) 通过合作交流、推理探究, 提高学生的思维能力, 体验数学创新的快乐, 激发学生的求知欲. 教学重点: 直线和圆的三种位置关系的判断方法及其运用. 教学难点: 合理选择方法准确解答直线与圆的位置关系问题. 二、教学过程 师：上课！ 生：老师好！ 师: 上节课我们学习了圆的一般方程, 请同学们回答下面的问题: ( 幻灯片) 引例: 若x 2 + y2 - 2mx + 2my + 2- m2 = 0 表示一个圆的方程, 试求实数m 满足的条件, 并写出该圆的圆心坐标和半径. 生A: 实数m 满足的条件是m X 0, 圆心坐标为(m, - m) , 半径为m. 师: 是否需要完善一下? 生A: ( 轻声地) 半径应该是| m | . 师: 很好! 我们在解题时首先要做到细心, 其次需要认真思考. 现在请大家想想看, 从该题的结果中你能发现该圆有什么特殊性? ( 短暂停顿, 提问学生讲出自己的发现. ) 生B: 该圆的圆心在直线y = - x 上. 生C: 该圆圆心的两坐标的绝对值都等于半径. 师: 生B 的发现说明该圆与直线y = - x 相交, 生C 的发现说明该圆与两坐标轴都相切. 这正是我们今天要研究的内容: 直线与圆的位置关系( 板书课题) . 师: 对我们来说, 直线与圆的位置关系并不陌生, 因为我们在初中平面几何中就已经学习过. 大家说, 共有哪几种位置关系? 学生( 齐) : 相离、相切、相交. 师: 哪位同学能告诉大家, 如何判断直线与圆的位置关系? 生D: 可利用圆心到直线的距离与半径的大小关系来判断. 师: 请你说得具体些. 生D: 当圆心到直线的距离大于半径时, 直线与圆相离; 等于半径时, 直线与圆相切; 小于半径时, 直线与圆相交. 师: 讲得很清楚. 生D 所说的方法是从几何特点即 “形” 的方面来加以判断的. 在解析几何中,当我们已知圆心坐标与直线方程时, 圆心到直线的距离是可求的, 因此我们能将该距离“ 数量化”具体的就是( 板书) :设直线l : Ax + By + C = 0, 圆C: ( r 0) , 则圆心C( a, b) 到直线l 的距离d = 方法1 当d r 时, 直线l 与圆C 相离; 当d = r 时, 直线l 与圆C 相切; 当d r 时, 直线l 与圆C 相交. 师: 上述方法将初中的几何判断方法与我们刚学习的点到直线距离公式结合起来了, 它在一定程度上体现了”数”与”形” 的统一. 如果我们再从形的方面分析不难得到: 当直线l 与圆C 相离时, 直线l 与圆C 没有公共点; 当直线l 与圆C 相切时, 直线l 与圆C 有且只有一个公共点; 当直线l与圆C 相交时, 直线l 与圆C 有两个公共点. ( 在教师的叙述过程中, 部分学生附和. ) 师: 请同学们思考: 类比两条直线的交点知识, 直线l 与圆C 的公共点坐标应满足什么条件? 生E: 其坐标既满足直线方程, 又满足圆的方程, 即是这两个方程的公共解. 师: 既然如此, 我们完全可以从研究联立直线方程与圆的方程所得的方程组的解的个数出发来判断直线与圆的位置关系, 此时方程组解的个数就等价于直线l 与圆C 公共点的个数. 为研究方便, 我们可考虑用圆的一般方程.( 板书) 设圆C: 联立方程组 方法2 当方程组无解时, 直线l 与圆C 相离; 当方程组有且只有一组解时, 直线l 与圆C 相切; 当方程组有两组不同解时, 直线l 与圆C 相交. 师: 我们所得到的两种判断方法, 都是从” 形”的视角出发, 用”数量”关系来加以呈现, 将几何问题有效地” 数量化”, 体现了”数形结合”思想方法的重要性. 师: 现在就让我们用上述方法具体判断直线与圆的位置关系. ( 幻灯片) 例1 判断下列各组中直线l 与圆C 的位置关系: ( 1) l : 4x + 3y = 40, C: x 2 + y 2 = 36; ( 2) l : y = - x + 1, C: x 2 + y 2 = 25; ( 3) l : 4x - 3y - 8 = 0, C: x 2 + y 2 + 2y = 0; ( 4) l : x - y - 5 = 0, C: x 2 + y2 - 2x + 4y +4 = 0. . 巡视中发现学生多数用方法1 判断. 师: 请大家用两种方法分别进行判断. 提问检查答案是: 题( 1) 相离, 题( 2) 相交, 题