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数值分析 第3章 解线性方程组的迭代法
第3章 解线性方程组的迭代法; 迭代法的基本思想是，把n元线性方程组;由此建立方程组的迭代公式
x(k+1)=Mx(k)+g , k=0,1,2,… (3.2)
其中M称为迭代矩阵。 ;从而得迭代公式;式(3.3)称为Jacobi迭代法,简称为J迭代法.;G-S迭代法也可记为;方程组的精确解为x*=(1,1,1)T.;可见,迭代序列逐次收敛于方程组的解, 而且迭代7次得到精确到小数点后两位的近似解.; 同样取初始向量x(0)=(0,0,0)T, 计算结果为; 为了进一步研究,从矩阵角度来讨论上述迭代法. ;由此建立J迭代法迭代公式
x(k+1)=D-1(L+U)x(k)+D-1b k=0,1,2,…; 讨论迭代法
x(k+1)=Mx(k)+g k=0,1,2,…; 记误差向量e(k)=x(k)-x*,则迭代法收敛就是e(k)?0.; 若‖M‖1,则对任意x(0),迭代法收敛,而且 ; ‖x(k+1) -x(k) ‖=‖(x (k+1) –x* )-(x(k) –x* )‖
?‖x (k) –x*‖-‖x(k+1) –x*‖;迭代终止的条件.例如;若使‖x(k) –x*‖? ,只需;§3 J迭代法和G-S迭代法的收敛性;因此, ?(B)?‖B‖?1,故?=1不是B的特征值,det(E-B)?0.; det(?E-G)= det(?E-(D-L)-1U)
= det((D-L)-1)det(?(D-L)-U)=0;试建立一个收敛的迭代格式,并说明收敛性.;改写成; 构造迭代公式; SOR方法收敛??(￡?)1;若‖￡?‖1,则SOR方法收敛. ;定理3.8; (Dy,y)=?0;可得 ?=2?/?; 用SOR方法解线性方程组;k;练习题;设线性方程组; (2)因为A是严格对角占优矩阵,但不是正定矩阵,故Jacobi法收敛,SOR法当0??1时收敛.;用SOR法求解方程组：;课间休息
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