数学抽象方法.doc

PAGE  PAGE 12 第6章 数学抽象方法 一、数学抽象方法 数学抽象方法是抽象方法在数学中的具体运用。它是从考虑的问题出发，通过对各种经验事实的观察、分析、综合和比较，在人们的思维中撇开事物现象的、外部的、偶然的东西，抽出事物本质的、内在的、必然的东西，从空间形式和数量关系上揭示客观对象的本质和规律，或者在已有数学知识的基础上，抽出其某一种属性作为新的数学对象，以此达到认识事物本质和规律的目的的一种数学研究方法。 二、数学抽象的特点 抽象性并非数学所独有，但数学的抽象性有它自身的特点。 数学抽象的特殊内容。 数学研究的对象只是现实世界的空间形式和数量关系而舍弃其他一些具体内容。 数学抽象的特殊高度。 和一般的自然科学相比，数学抽象的又一特点在于它所达到的高度，数学的抽象程度远远超过了自然科学中的一般抽象。 首先，数学抽象往往是在其他学科抽象基础上的再抽象。 其次，数学抽象具有逐级抽象的特点。 3．数学抽象的特殊方法。 数学抽象就是一种建构的活动，数学的研究对象是通过逻辑建构活动来得到构造的，是借助于定义和推理进行的。 三、数学抽象的作用 1．有利于使认识深入到事物的本质 什么是椭圆? ——椭圆是鸡蛋的那种外形或者有点像橄榄的那种形状； ——椭圆是平面上到两定点距离之和为一定值的点的轨迹，或者椭圆是当时，满足方程的点(x，y)的集合。 2． 有利于认识一般 下面是两类不同的方程： 3．有利于认识无限 什么是自然数? 1，2，3， 4，5，6，等等。 意大利数学家皮亚诺这样定义自然数集： 自然数是指满足以下性质的集合N中的元素： (1)1是N的一个元，它不是N中任何元的后继者，若a的后继者用a+表示，则对于N中任何a，a+≠1； (2)对于N中任意元a，存在而且仅存在一个后继者a+； (3)对于N中任何a，b，若a+=b+，则a=b； (4)(归纳公理)N的一个子集合M，若具有以下性质：1∈M；当a∈M时，有a+∈M，则M∈N。 4．有利于应用的广泛性 四、数学抽象的基本形式 1．理想化抽象 在纯粹理想的状态下，对事物进行简单化与完善化的加工处理，撇开??物的具体内容，排除次要的、偶然的因素，聚合事物的一般的本质的属性，抽象出相应数学内容的方法。例如，几何中点、线、面等基本概念的引进，就是进行理想化抽象的结果。 理想化抽象的结果在数学中表现出各种不同的结构形式，既有图形又有解析表达式；既有具体的数学，又有一般的抽象符号系统等。 数字化或图形化是理想抽象的主要方法： 2．等价抽象 等价抽象是借助于等价关系给出已知集合的一个划分，然后将其中等价的元素“同一化”而得到一个新集合的一种方法。其具体含义是，如果集合 中的一个二元关系 满足下述三条： （1）自反性 对任意的∈， 和 有关系 ，即 ； （2）对称性 若 ，则 ，其中b∈； （3）传递性 若 ， ，则 ，其中c∈， 则称 为 上的一个等价关系。由此可以看出得到 的一个划分，使得 被表成若干个“等价类” 的并。等价的元素位于同一等价类，不等价的元素位于不同的等价类之中。然后将同一等价类中的元素“同一化”，即将等价的元素在抽象意义下看作同一个东西，这样，一个等价类形象上凝聚了一个新的抽象元素。由所有这些元素就构成了一个新集合。 实数的相等关系；三角形的全等；三角形的相似；直线的平行（垂直不是，不满足（3））；整数的同余关系（以m为模，就将整数集分成m类）。 等价抽象方法是建立新的数学系统的常用手段之一，在数学研究中有着广泛的应用，数学中很多重要概念的出现都是由此而导致的，这种方法在解题中往往亦可发挥其效力。 由14个相同的方格组成的图形，你能使之剪成7个由相邻两 个方格组成的长方形吗？ 类似问题：中国象棋棋盘上的马从棋盘上任一点出发，经若干次跳跃，再回到原处，证明：中间一定跳了偶数步。 从任意选定的n个自然数中，总可以找到k个数（），且每个数最多取一次，使其和可被n整除。 3．强抽象和弱抽象 弱抽象也可以叫做“概念扩张性抽象”,这是指由原型中选取某一特征或侧面加以抽象,从而形成比原型更为普遍、更为一般的概念或理论,并使前者成为后者的特例.这种抽象过程仅仅是把与所研究问题有关的本质属性保留下来,而原来的结构被削弱或不复存在,故称之为弱抽象.例如从各种不同的物件的计数中抽象出自然数的概念后,原物件的性质与结构都不复存在,只剩下数的概念. 弱抽象的结果，对于概念型抽象，外延扩大，内涵缩小；对于命题型抽象，则命题更普遍，范围更广。 如函数概念的发展：早期函数概念（代数函数）——18世纪函数概念（解析函数）——19世纪函数（变量函数——近代函数概念（映射函数） ，开始是具体的数，单个的字母或单项式，进