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关于彩票问题的数学模型 （电子科技大学） 指导教师：张勇 参赛队员：付小锋 丘允阳 胡俊东 2002.9.23 关于彩票问题的数学模型 摘要： 本文对彩票问题从数学的角度进行了分析研究，对 29 种常见方案的合理性进行了综合 评价，设计了两种“更好”的方案。 首先，计算出各类型彩票各奖项的中奖概率。将中奖面和一等奖单注奖金的期望值作为 方案合理性的评价指标，建立了一双目标优化模型。考虑到中奖面和一等奖单注奖金的期望 值处于不同的数量级，对它们进行了规一化处理，然后引入非负加权因子，从而将双目标优 化模型转化为单目标优化模型进行求解。考虑到不同的彩民对中奖面和一等奖单注奖金期望 值的偏好程度不同，给出了适合于不同彩民的合理方案。 我们分别设计了面向“保值型”彩民的“22 选 5”方案和面向“激进型”彩民的双彩池 摇奖方案，给出了相应的算法并对其可行性进行了分析。对彩票管理部门提出了设“积宝池”、 使用调节基金、采用“二次开奖”和“附加奖”等建议。 最后，对模型进行了分析和评价，提出了模型的改进方向。并给报纸写了一篇关于合理 选择彩票问题的文章。 关于彩票问题的数学模型 一、 问题的提出： 巨额诱惑使越来越多的人加入到“彩民”的行列，目前流行的彩票主要有“传统型”和 “乐透型”两种类型。 “传统型”采用“10 选 6+1”方案，根据单注号码与中奖号码相符的个数多少及顺序 确定中奖等级（具体摇奖规则及中奖等级说明见附件一）；“乐透型”有多种不同的形式，分 为“m 选 n”型方案和“m 选 n+1”型方案，根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定 相应的中奖等级，不考虑号码顺序（具体摇奖规则及中奖等级的说明见附件二）。 已知这两种类型彩票的总奖金比例一般为销售总额的 50%，投注者单注金额为 2 元， 单注若已得到高级别的奖就不再兼得低级别的奖。现在常见的销售规则及相应的奖金设置方 案如附表三，其中一、二、三等奖为高项奖，后面的为低项奖。低项奖数额固定，高项奖按 比例分配，但一等奖单注保底金额 60 万元，封顶金额 500 万元，各高项奖额的计算方法为： [(当期销售总额 ×总奖金比例) -低项奖总额 ]×单项奖比例 （1）根据这些方案的具体情况，综合分析各种奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设 置以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性。 （2）设计一种“更好”的方案及相应的算法，并据此给彩票管理部门提出建议。 （3）给报纸写一篇短文，供彩民参考。 二、 问题分析： 问题的第一问要求对 29 种彩票方案进行综合分析并评价各方案的合理性，考虑彩票发 行人的获利情况和彩票方案对彩民的吸引力两个方面因素，分析彩票方案合理性。一套方案 对彩民的吸引力越大，则它的销售总额也就越大；在销售规则不变的前提下，发行人的获利 就越多。因此，方案对彩民的吸引力是影响彩票方案合理性的主要因素。 要评价方案的合理性关键在于确立关于方案合理性的评价指标。根据“不确定条件下消 费者选择理论”，中奖率低但中奖额高是影响吸引力的主要因素。因此可以考虑将彩票的中 奖面和高等奖单注奖金的期望值作为评价指标，来衡量各方案的合理性。 由于一等奖占高等奖奖金的 60%以上，可以考虑用一等奖单注期望值代替高等奖单注 奖金期望值作为评价指标，这并不影响对方案合理性的分析。由于一等奖单注奖金的期望值 和中奖面之间又存在相互制约的关系，可以考虑建立双目标优化模型对问题进行研究。不同 类型的彩民对两者的偏好程度不一样，高风险倾向彩民主要偏向于一等奖单注奖金的期望 值，低风险倾向彩民