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函数恒成立的问题 类型1：利用一次函数的单调性 对于一次函数有： 若不等式对满足的所有都成立，求x的范围。 解：原不等式化为 (x2－1)m－(2x－1)0 记f(m)= (x2－1)m－(2x－1) (－2m2) 根据题意有： 即： 解之：得x的取值范围为 类型2：利用一元二次函数的判别式 设， ⑴ 上恒成立 ； ⑵ 上恒成立 。 例2： 在R上定义运算：xy＝(1－y) 若不等式(x－a)(x＋a)1对任意实数x成立，则 ( ) (A)－1a1 (B)0a2 (C) (D) 解：由题意可知 (x-a)[1-(x+a)] 1对任意x成立 即x2-x-a2+a+10对xR恒成立 记f(x)=x2-x-a2+a+1 则应满足(-1)2-4(-a2+a+1)0 化简得 4a2-4a-30 解得 ,故选择C。 例3：若不等式x2-2mx+2m+10对满足0x1的所有实数x都成立，求m的取值范围。 解：设f(x)=x2-2mx+2m+1 本题等价于函数f(x)在0x1上的最小值大于0，求m的取值范围。 (1)当m0时，f(x)在[0,1]上是增函数，因此f(0)是最小值， 解 得 m0 (2)当0m1时，f(x)在x=m时取得最小值 解 得 0m1 (3)当m1时，f(x)在[0,1] 上是减函数，因此f(1)是最小值 解 得 m1 综合(1)(2)(3) 得 例4．若不等式的解集是R，求m的范围。 解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m，所以要讨论m-1是否是0。 （1）当m-1=0时，元不等式化为20恒成立，满足题意； （2）时，只需，所以，。 注：当化归为二次函数后，自变量是实数集的子集时，应用二次函数知识解决有时较繁琐。此型题目有时也可转化为后面的法3求解。 类型3：利用函数的最值（或值域） ⑴ ⑵ 。 简单记作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。 例5 在ABC中，已知恒成立，求实数的范围。 解析 由，，恒成立，， 即恒成立， 例4： 求使不等式恒成立的实数a的范围。 解析： （1）由于函， 显然函数有最大值，。 如果把上题稍微改一点，那么答案又如何呢？请看下题：（2）求使不等式恒成立的实数a的范围。 解析：我们首先要认真对比上面两个例题的区别，主要??于自变量的取值范围的变化， 这样使得的最大值取不到，即a取也满足条件，所以。 所以，我们对这类题要注意看看函数能否取得最值，因为这直接关系到最后所求参数的取值。利用这种方法时，一般要求把参数单独放在一侧，所以也叫分离参数法。 类型4：数形结合法: 对一些不能把数放在一侧的，可以利用对应函数的图象法求解 例5. 已知，求实数a的取值范围。 解析：由，在同一直角坐标系中做出两个函数的图象，如果两个函数分别在x=-1和x=1处相交，则由得到a分别等于2和0.5，并作出函数的图象，所以，要想使函数在区间中恒成立，只须在区间对应的图象在在区间对应图象的上面即可。当才能保证，而才可以，所以。 例6.若当P为圆上任意一点时，不等式恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 解析：由，可以看作是点P(m,n)在直线的右侧，而点P(m,n)在圆上，实质相当于是在直线的右侧并与它相离或相切。，故选D。 例7： 如果对任意实数x，不等式恒成立，则实数k的取值范围是 解析：画出y1=,y2=kx的图像，由图可看出 0k1 例8：已知a0且a1,当x(-1，1)时，不等式x2-ax恒成立，则a的取值范围 解析：不等式x2-ax可化为 ax x2- 画出y1= ax,y2= x2-的图像。由图可看出 a1或1a2 1 类型5： 分离参数法 在题目中分离出参数，化成af(x) （af(x)）型恒成立问题，再利用afmax(x) （afmin(x)）求出参数范围。 例4：已知向量=(x2,x+1), =(1-x,t) 若函数f(x)＝·在区间(－1，1)上是增函数，求t的取值范围。 解：依题意， f(x)＝x2(1-x)+(x+1)t=-x3+x2+tx+t 则f＇(x)=-3x2+2x+t ∵f(x)在(－1，1)上是增函数，则在(－1，1)上有f＇(x)0 即-3x2+2x+t0在x(-1，1)上恒成立 设g(x)=3x2-2x ∴tg(-1) 即 t